Composé de fonctions, besoin de confirmation!

[invitec1a69dfa]

Bonjour, je viens vous demander confirmation pour mon exercice de fonctions composé.

Voici les informations que je détiens:
u est une fonction croissante sur [0;2] et va de -3 a 1 comme extremum. Sur [2;4] elle é decroissante et va de 1 a -3.

Elle admet une tangente horizontale au point d'abscisse 2.

Son tableau de signe est le suivant:
sur [0;1] elle est négative puis positive sur [1;3] avant d'être négative sur [3;4]

On admet que f(x)=ln(u(x))

1) f est elle définie sur [0;4] ?
NON. f(x) est définie pour u(x) supérieur a 0. Or le tableau de signe nous montre que cette condition est respectée sur l'intervalle ]1;3[

2) f est elle positive ou nulle sur son ensemble de définition ?
f est définie sur ]1;3[ ( crochets ouverts ) donc c'est faux.

3) f'(2) = 0 ?
f est la fonction composée de u.
on rapelle que u est croissante sur [1;2] et décroissante sur [ 2;3 ], valant 0 en 1 et en 3 et ateignant 1, son extremum, en 2.
Par composition, lnu admet une valeur interdite en 1, et une en -3, et atteint 0 en 2 ( ln1 )
Elle admet donc une asymptote x=1, et atteint un extremum en 0, la tangente horizontale n'est donc pas la même

etes vous d'accord ?
-----

[invitec1a69dfa]

Je me demande si je me suis planté :s

[Coincoin]

Salut,
Je ne comprends pas ta réponse à la question 2 et ta dernière phrase.

[invitec1a69dfa]

Desolé de mettre mal exprimé. Je voulais dire que f est définie sur ]1;3[. Elle ne peut pas donc etre positive et NULLE vu qu'elle s'annule en 1 et en 3. et pour ma derniere phrase je voulais dire que f, au contraire de u, atteignant son maximum en 2 mais valait 0 ( alors qu'au point d'abscisse 2, u valait 1 ).
Mon exercice est-il bon ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Coincoin]

Elle ne peut pas donc etre positive et NULLE vu qu'elle s'annule en 1 et en 3

je voulais dire que f, au contraire de u, atteignant son maximum en 2

Oui, c'est ce qu'on te demandait de montrer.

mais valait 0 ( alors qu'au point d'abscisse 2, u valait 1 ).

Et alors ? On s'en fiche, non ?

[invitec1a69dfa]

bref j'ai surement un peu trop detaillé...tu as raison. Pour la question 2 je sais pas trop comment m'en sortir, mais ais je bien reussi le reste de l'exercice ?

[Coincoin]

Je ne sais pas si tu as compris le truc ou pas, mais en tout cas, tu t'exprimes mal. A te lire, j'ai l'impression que tu dis qu'une fonction définie ne peut pas être positive...
Quelle condition sur u faut-il pour que f soit positive ?

[invitec1a69dfa]

J'ai du mal a m'exprimer en langage mathématique, c'est clair.

f(x) est définie pour u(x) supérieur a 0, non ?

Mais tu es d'accord avec les vrais faux que j'ai mis ?

[Coincoin]

f(x) est définie pour u(x) supérieur a 0, non ?

Effectivement. Mais tu n'as pas du tout répondu à ma question

Pour le reste, il me semble que c'est bon.

[invitec1a69dfa]

Ok, je vois pas ou tu veux me mener. Tu es en désaccord avec moi simplement sur la question 2 c'est ca ? Peux tu me mettre sur la voie stp, et je répondrai!

[invitec1a69dfa]

Gros gros doute à l'instant...moi qui était persuadé que la dérivée de ln2 ( tout seul ) était 1/2, on me dit que c'est 0...ln2 étant un nombre.
Quelle est la bonne solution ???

[Coincoin]

Je t'avais demandé

Quelle condition sur u faut-il pour que f soit positive ?

et non

Quelle condition sur u faut-il pour que f soit définie ?

moi qui était persuadé que la dérivée de ln2 ( tout seul ) était 1/2, on me dit que c'est 0...ln2 étant un nombre.

Il ne faut pas mélanger la dérivée de la fonction x->ln(2) et la valeur de la dérivée de la fonction x->ln(x) prise en x=2.

[invitec1a69dfa]

Ok, bah pour que f soit positive, je n'en ai absolument aucune idée...tu peux m'éclaircir stp ?

[Coincoin]

Ben qu'est-ce qu'il faut pour que ln(schtroumpf) soit positif ?

[invitec1a69dfa]

bah que schtroumpf soit positif ?

[invitec1a69dfa]

donc si je récapitule, ( pour finir lool ! )

1) c'est faux
2) c'est faux aussi
3) c'est vrai
4) c'est vrai

[Coincoin]

Ca fait combien ln(1/2) (calculette autorisée) ?

[invitec1a69dfa]

et merde...un nombre négatif...c sur [1;+00!]

[Coincoin]

Ok, et donc quelle condition sur u faut-il pour que f soit positive ?

[invitec1a69dfa]

Que u soit définie sur [1;+oo]...

sinon, peut tu vérifier stp, et après je ne t'embete plus, l'histoire des vrai et faux, et surtout du c) et du d) sur la tangente au point d'abscisse 2 et l'asymptote d'équation x=1 ?

encore merci pour tout , c'est vraiment sympa

[invitec1a69dfa]

toujours personne pour m'éclairer sur la justesse de mon exercice et les points que j'ai souligné ?

Désolé d'être aussi impatient

[invitebb921944]

Salut

3) f'(2) = 0 ?
f est la fonction composée de u.
on rapelle que u est croissante sur [1;2] et décroissante sur [ 2;3 ], valant 0 en 1 et en 3 et ateignant 1, son extremum, en 2.
Par composition, lnu admet une valeur interdite en 1, et une en -3, et atteint 0 en 2 ( ln1 )
Elle admet donc une asymptote x=1, et atteint un extremum en 0, la tangente horizontale n'est donc pas la même

f est la fonction composée de u ne veut pas dire grand chose à ma connaissance.

Il me semble que la question est simplement : est ce que la dérivée de f s'annule en x=2. Je ne vois pas par conséquent pourquoi tu écris à la fin que la tangente n'est pas la même sans rien conclure. Le reste de ta réponse n'est lui aussi pas très clair et je crois que tu confonds la fonction f à sa dérivée f'.
En attendant des précisions...

Fixe toi un objectif en math : répondre à la question posée, on a souvent tendance à l'oublier au début en partant dans des calculs inutiles et compliqués...

[invitec1a69dfa]

f'(2) = 0 veut bien dire qu'ilexiste une tangente horizontale au point d'abscisse 2 ? il me suffit de le vérifier pour voir si l'affirmation est juste. Et il s'avère que oui, la courbe lnu atteignant son extremum au point d'absisse 2.

[invitebb921944]

Oui c'est juste !
Mais je pense qu'il serait bon de reformuler clairement ta réponse car je pense qu'il y a des erreurs.

[invitec1a69dfa]

d'accord, je vais essayer de tout bien reformuler

[invitec1a69dfa]

Voici donc ma ultime réponse lol:

Pour la 1ere question ( selon l'énoncé ) j'ai répondu FAUX. On a posé f(x)=ln(u(x)) et on me demande si sur [0;4], l'ensemble de définition de u, f est elle aussi définie.
On sait que f(x) existe ssi u(x) est POSITIVE, la fonction ln étant définie sur [0;+oo]. L'intervalle de définition de f est donc ]1;3[.

2)VRAI. On me demande si f est positive ou nulle sur son ensemble de définition c'est à dire ]1;3[. On sait que f est POSITIVE ou NULLE ssi u(x) est supérieure ou égal a 1. La condition est respectée sur cet intervalle, et donc la réponse est VRAI.

3) Encore 1 fois vrai. Il m'est demandé si f'(2) est égale a 0. C'est à dire si la fonction ln(ux) admet une tangente horizontale au point d'abscisse 2. Il suffit de le démontrer.
On sait que u(x) a pour extremum 1 au point d'abscisse 2 et admet une tangente horizontale en ce point. par composition, on trouve que la fonction ln(u(x)) admet elle aussi une tangente horizontale au point d'abscisse 2, mais admettant comme extremum 0 ( ln1 = 0).
C'est donc VRAI.

4) C'est vrai également. Il existe une asymptote verticale d'équation x=1 a la courbe f, et meme un autre d'équation x=3


etes vous d'accord cette fois ci ???

[invitebb921944]

Alors déjà, on répond vrai ou faux à une affirmation.
Si je dis : "f est croissante sur R" là tu peux répondre vrai ou faux.
Si je dis : "f est-elle croissante sur R ?" là tu dois répondre par oui ou non et pas vrai ou faux.

Ensuite, f(x) est un nombre, f est une fonction.
Il faut donc dire : f est définie et non f(x) est défini.

On sait que f(x) existe ssi u(x) est POSITIVE, la fonction ln étant définie sur [0;+oo]. L'intervalle de définition de f est donc ]1;3[.

ln est définie sur ]0;+oo[ plus précisément (on n'inclut jamais l'infini dans un intervalle car ce n'est pas un nombre). Et le 0 n'est ici pas inclus car ln(0) n'existe pas.
Ton intervalle de définition de f est bon.

2)VRAI. On me demande si f est positive ou nulle sur son ensemble de définition c'est à dire ]1;3[. On sait que f est POSITIVE ou NULLE ssi u(x) est supérieure ou égal a 1. La condition est respectée sur cet intervalle, et donc la réponse est VRAI.

Je ne crois pas non.
u est strictement supérieure à 0 sur ]1;3[
De plus, il n'aurait pas fallu dire vrai mais oui.

On sait que u(x) a pour extremum 1 au point d'abscisse 2 et admet une tangente horizontale en ce point. par composition, on trouve que la fonction ln(u(x)) admet elle aussi une tangente horizontale au point d'abscisse 2, mais admettant comme extremum 0 ( ln1 = 0).
C'est donc VRAI.

Je pense qu'il manque des arguments, je me pencherai sur la question un peu plus tard

4) C'est vrai également. Il existe une asymptote verticale d'équation x=1 a la courbe f, et meme un autre d'équation x=3

Je n'ai pas vu de question 4 dans ton énoncé. Cela dit, les asymptotes citées existent bien mais il aurait été peut-être judicieux de donner des arguments du genre :

lim u(x) (quand x tend vers 1 ou 3) = 0
lim ln(x) quand x tend vers 0 = -oo
Donc, par composition :
lim(ln(u(x)) (quand x tend vers 1 ou 3) = - linfini
et d'en déduire que les deux asymptotes verticales en question existent.

Après, tout dépend de ton professeur et des ses exigences

[invitebb921944]

Bon pour la 3, je n'arrive pas trop à voir géométriquement les conditions nécessaires.
En fait ce qui me gêne surtout, c'est que je ne sais pas si l'on peut affirmer que si une fonction u admet un extrêmum en x=2, alors toute fonction de la forme
f : x->f(u(x)) admet aussi un extrêmum en 2 sans condition sur f (monotonie, continuité etc...)

Sinon, étant donné que ton prof suppose que f est dérivable en x=2 (il écrit f'(2) dans l'énoncé), tu peux dériver f en x=2 et utiliser la dérivée d'une fonction composée :
[g(u(x))]'=u'(x)*g'[u(x)]
Or, u'(2)=0, donc [g(u(x))]' vaut 0 en x=2

[invitec1a69dfa]

d'accord, merci pour toutes ces précisions c'est sympa! donc vous etes d'accord pour les vrais et faux mais il faut que j'améliore mon argumentation c'est ca ?

[invitebb921944]

Non, je ne suis pas d'accord avec la question 2 et il faut remplacer les vrai et faux par des oui et non.