Comptage des années bissextiles Ts spécialité

[gavroch]

Bonjour, désolé de demander encore voilà j'ai un problème sur les années bissextiles et le but est de déterminer quel jour de l'année 2697 correspondra au 29 février ( le jour du 29fév change tous les 4 ans à cause des années bissextiles ) sachant qu on est dans l'exercice un mercredi 29 février 2015

données: 682 années
une année est bissextile si elle est divisible par 4
une année est bissextile si elle est divisible par 400
une année est pas bissextiles si elle est divisible par 100


je me demande si il faut résoudre un système à 2 équation type X congru 0 mod 4 et X congru 0 mod 100 et faire la soustraction de 682 avec le X trouvé..?
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[gg0]

Bonjour.

2697 n'a pas de 29 février !
C'est un gag ?

[gavroch]

oui grave erreur de confusion dans ma tête désolé (moi)

je recommence

Dans le problème on est mercredi 23 décembre 2015. On veux savoir quel jour de la semaine sera le 23 décembre de l'année 2697.
Une année est bissextile (366jours) si elles est divisible par 4
si elle est divisible par 400
Une année est normale si elles est divisible par 100
Le sujet est guidé: il faut d'abord trouver le nombre d'années bissextiles, puis en déduire le nombre de jours séparent les deux dates, puis trouver le jour de la semaine recherché


mais je me demande toujours s'il faut résoudre un système à deux équations

[gg0]

Quel système à deux équations ?

Le compte se fait quand même facilement : combien de multiples de 4 ? de 100 ? de 400 ?.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[danyvio]

Que l'énoncé est mal ... énoncé !

Une année est bissextile si :

Elle est divisible par 4 sauf si elle est (divisible par 100 ET indivisible par 400).

[gavroch]

Bonjour, merci d'avoir répondu. J'ai beaucoup de mal.


J'ai essayé de compté, dans 682 j'ai 680+2
or 680 est divisible par 4 et pas par 100 donc déjà l'année 680 est bissextile pour moi
j'ai déjà un multiple de 4 donc dans 682.


j'ai essayé de trouvé d'autres multiples de 4 et pas de 100 à partir de 680 dans la liste des diviseurs de 680 et ça fait: 4,8,20,40,68,136,340,680
Y en a pas beaucoup donc j'arrive pas bien à compter les multiples de 4 comme le conseille ggo avec ma méthode.
J'ai fait pareille avec 400 avec dans 682 y a 400 +282 et j'ai trouvé les multiples suivants sans compter 4 et 8: 16,20,40,80
je fait pareil avec 280 parce que je suis sur de trouver des multiples de 4 dans 280 et pas dans 282 ça fait :28,56,140

En comptant le nombre de ces multiples j'ai 15 années bissextiles ...c'est pas normal

[gg0]

Mauvaise idée de partir de 682 alors que la question précise est entre les années 2015 et 2697. Pas 0 et 682 !!
2105 est-elle bissextile ? et 2016 ? 2017 ? ...2099 ? 2100 ? ...
Il est assez facile de voir quelles années seront éventuellement bissextiles car multiples de 4, lesquelles ne le seront pas parce que multiples de 100 mais pas de 400. C'est à la portée d'un bon élève de sixième.
Allez, un peu de sérieux pour voir ce qui se passe.

Cordialement.

[gavroch]

Bonjour merci je crois bien que j'ai trouvé.
On a au plus 171 années bissextiles car 682/4
les multilples de 100 mais pas de 400 sont au nmb de 5 (2010,2200,2300,2500,2600) donc 171-5 années normales=166 années bissextiles!

[gg0]

Bonjour merci je crois bien que j'ai trouvé.
On a au plus 171 années bissextiles car 682/4

Oui, mais en a-t-on 171, ou moins ??

les multilples de 100 mais pas de 400 sont au nmb de 5 (2010,2200,2300,2500,2600) donc 171-5 années normales=166 années bissextiles!

Qui est nmb ?? et 2010 n'est pas 2100.

Cordialement.

[gavroch]

A oui si je pouvais modifier mon message je mettrais donc:

"On a au moins 171 années bissextiles car 682/4
les multilples de 100 mais pas de 400 sont au nombre de 5 (2100,2200,2300,2500,2600) donc 171-5 années normales=166 années bissextiles!"

[gg0]

"On a au moins 171 années bissextiles car 682/4" Toujours aussi peu convainquant !

Tu dois donner une bonne raison pour qu'il y en ait exactement 171. Et c'est assez élémentaire, en oubliant ce 682 pour te centrer sur les nombres entre 2015 et 2697 qui sont multiples de 4.

[jacknicklaus]

Ton calcul (166) est bon, mais tu as un problème de rédaction de preuve. Par exemple, on pourrait écrire ainsi :

Le nombre d'années bissextiles entre 2015 et 2697 est le nombre de multiples de 4 entre 2015 et 2697, corrigé des cas particulier centennaux.

Ces cas particuliers indiquent que les années multiples de 100, mais pas multiples de 400, ne sont pas bissextiles. Trivialement, il y en a 5 sur l'intervalle : 2100, 2200, 2300, 2500, 2600. Il faudra retirer 5 au nombre de multiples de 4.

Le 1er multiple de 4 entre 2015 et 2697 est 2016. Le n-ème (n>=1) est A(n) = 2016 + (n-1)*4. Il faut :
A(n) <= 2697
==> 4*n <= 685
==> n <= 171
Il y a donc exactement 171 multiples de 4 entre 2015 et 2697, et le nombre d'années bissextiles est 171 - 5 = 166.

[gavroch]

Merci beaucoup ! votre démonstration est clair

j avais la méthode mais j'arrivais pas à retrouver 166.

[gavroch]

Après pour le reste de l'exercice j'ai trouvé 171*366+(682-171)*365jours = 249096 jours entre l'année actuelle dans le problème et l'année recherchée et j'ai divisé ce nombre de jours par 7.

249096=7*35585+1 donc un jour en plus que mercredi


donc je peux dire que le 23 décembre 2697 sera un jeudi

en tout cas merci pour l'aide
problème résolu

[jacknicklaus]

Après pour le reste de l'exercice j'ai trouvé 171*366+(682-171)*365jours = 249096 jours entre l'année actuelle dans le problème et l'année recherchée et j'ai divisé ce nombre de jours par 7.
249096=7*35585+1

non.
166, pas 171.
Et il est plus "mathématique" (disons, plus élégant) de passer tout en modulo 7, sans faire le calcul explicite. par exemple :

le nombre d'années entre 2015 et 2697 est 682, dont 166 bissextiles, donc le nombre de jours est 682*365 + 166 (je ne fais pas le calcul)
le décalage du jour de la semaine est
( 682*365 + 166) [7]
= (682[7]*365[7] + 166[7]) [7]
= (3 * 1 + 5)[7]
= 8[7]
= 1

[gavroch]

la fin est vraiment comprise maintenant, c'étais encore un manque de vigilance..



a oui juste pour qu'on soit dans la même longueur d'onde:

Le 1er multiple de 4 entre 2015 et 2697 est 2016. Le n-ème (n>=1) est A(n) = 2016 + (n-1)*4. Il faut :
A(n) <= 2697

A(n) désigne le dernier multiple de 4et n désigne le nombre de multiples de 4c'est ça? alors dans ce cas dans l'expression (n-1) de A(n), on retire 1 du nombre totale de multiples de 4 pour ne pas comptabiliser le dernier multiple de 4 deux fois c'est ça?

[gg0]

La formule "A(n) = 2016 + (n-1)*4" est simplement l'application d'une formule que tu connais sur les suites arithmétiques :
u_n=u_p+(n-p)r
et tu sais déjà que les multiples d'un nombre entier k forment une suite arithmétique de raison k.

Cordialement.

[gg0]

Autre façon de voir.

le premier est 2016, le dernier 2696, soit 680 de plus, donc 170 intervalles de longueur 4. Comme on compte les bornes d'intervalles, il y en a une de plus (680 débuts plus la fin du dernier) soit 171.

[gavroch]

merci pour les visons

oui je pense que je comprend mieux maintentant
c'est le 2696 qu on retire

[jacknicklaus]

autre façon de voir :

A(n) comporte forcément un terme en +4*n, puisqu'on avance de 4 en 4
or pour n = 1, je veux obtenir A(1) = 2016

une façon triviale d'arriver à concilier ces 2 exigences est d'écrire
A(1) = 2016 + (1-1)*4
et A(n) = 2016 + (n-1)*4