probabilités dans les échecs - Page 4
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probabilités dans les échecs



  1. #91
    Merlin95

    Re : probabilités dans les échecs


    ------

    Inspiré par le programme écrit (en PJ le programme en question) et la tentative de retrouver à la main des résultats fournis par le programme, j'ai trouvé un algorithme inspiré par un comptage bête et méchant.

    En fait il s'agit approximativement du même principe que celui de ansset.

    Il s'agit de partir de 4 noires sur la diagonale et de compter effectivement le nombre de solutions possibles pour les blanches.
    Il suffit ensuite de multiplier par (64*49*36*25)/4! pour avoir le résultat final comme l'indiquait ansset.

    Comme ansset je distingue 3 zones B0, B1, B2 dans lesquelles par symétrie on peut décompter toutes les cas.

    Les 4 noires étant "fixées" sur la diagonale, je commence par considérer les 3 premières tours blanche dans la zone B0, et la tour 4 dans la zone B0, puis la tour 4 dans B1, puis dans B2 et je continue ainsi pour les deux blanches fixes la tour 3 en B1, la tour 4 en B0 etc... voici le début des cas possibles :
    t1 en B0, t2 en B0, t3 en B0, t2 en B0
    t1 en B0, t2 en B0, t3 en B0, t2 en B1
    t1 en B0, t2 en B0, t3 en B0, t2 en B2
    t1 en B0, t2 en B0, t3 en B1, t2 en B0
    t1 en B0, t2 en B0, t3 en B1, t2 en B1
    t1 en B0, t2 en B0, t3 en B1, t2 en B2
    t1 en B0, t2 en B0, t3 en B2, t2 en B0
    t1 en B0, t2 en B0, t3 en B2, t2 en B1
    t1 en B0, t2 en B0, t3 en B2, t2 en B2
    t1 en B0, t2 en B0, t3 en B0, t2 en B0
    t1 en B0, t2 en B1, t3 en B0, t2 en B0
    t1 en B0, t2 en B1, t3 en B0, t2 en B1
    t1 en B0, t2 en B1, t3 en B0, t2 en B2
    t1 en B0, t2 en B1, t3 en B1, t2 en B0
    t1 en B0, t2 en B1, t3 en B1, t2 en B1
    t1 en B0, t2 en B1, t3 en B1, t2 en B2
    t1 en B0, t2 en B1, t3 en B2, t2 en B0
    t1 en B0, t2 en B1, t3 en B2, t2 en B1
    t1 en B0, t2 en B1, t3 en B2, t2 en B2
    etc.

    à chaque ligne je calcule à chaque fois, pour chaque tour le nombre de positions possibles, ce qui donne par exemple pour les 1ers cas :
    t1 en B0 (16), t2 en B0 (9), t3 en B0 (4), t1 en B0 (1)
    t1 en B0 (16), t2 en B0 (9), t3 en B0 (4), t1 en B1 (8)
    t1 en B0 (16), t2 en B0 (9), t3 en B0 (4), t1 en B2 (12)
    etc.

    Pour avoir le nombre total de combinaisons, ca donne :
    (16*9*4*1) + (16*9*4*8) + (16*9*4*12) + ...

    J'obtiens ainsi le nombre total de combinaisons que je divise par par 4! pour éliminer les solutions qui représentent la même configuration étant donné que les tours sont distinguables que par la couleur.

    Il faut faire effectivement attention pour la zone B1 parfois il y a des cas non symétriques et il faut bien distinguer si la tour est dans un cadran ou l'autre du damier.

    En déroulant le calcul correctement on obtient 90801* (64*49*36*25)/4! = 10678197600

    -----
    Fichiers attachés Fichiers attachés
    Dernière modification par Merlin95 ; 20/07/2017 à 20h35.

  2. #92
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : probabilités dans les échecs

    tu as des doublons de cas dans ta liste de configurations !
    sauf erreur , il n'y a que 15 config possibles.
    Dernière modification par ansset ; 20/07/2017 à 21h10.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  3. #93
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : probabilités dans les échecs

    exemple parmi d'autres :
    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    t1 en B0, t2 en B0, t3 en B0, t2 en B2
    t1 en B0, t2 en B0, t3 en B2, t2 en B0
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  4. #94
    Merlin95

    Re : probabilités dans les échecs

    Oui j'ai 24 doublons 4x3x2x1. C'est facile à démontrer en fait.
    Pour les 4 tours dans une configuration donnée tu as ces possibilités :

    1234
    1243
    1324
    1342
    1432
    1423
    2134
    2143
    2314
    2341
    2413
    2431
    3124
    3142
    3214
    3241
    3412
    3421
    4123
    4132
    4213
    4231
    4312
    4321

    Il n'y a rien de mystérieux, il est facile de voir que le nombre de combinaison possible avec n élément est ègale à n!, c'est un résultat assez classique.

    C'est pourquoi lorsque je compte bêtement les résultats, je divise à la fin le résultat par 24.

    Par ailleurs pour vérifier mon programme, je l'ai exécuté en faisant en sorte de ne pas compter plusieurs fois les doublons (c'est facile à faire même si le programme devient plus lent), puis en ignorant cette contrainte, et j'ai bien comme résultat respectivement 90801 et 2179224 (=90801x4!)

  5. #95
    Merlin95

    Re : probabilités dans les échecs

    Et c'est le même principe pour mon dénombrement manuel, puisqu'il compte aussi toutes les configurations possibles (chaque tour blanche étant considérée différente des autres blanches).
    Dernière modification par Merlin95 ; 20/07/2017 à 22h05.

  6. #96
    Merlin95

    Re : probabilités dans les échecs

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    tu as des doublons de cas dans ta liste de configurations !
    sauf erreur , il n'y a que 15 config possibles.
    Je viens de relire et je n'avais peut-être pas compris que c'était une astuce pour faire moins de calcul encore.
    Je vais voir combien il y a de configs mais il faut aussi voir combiend e fois apparait la config dans ces 81 combinaisons.
    Dernière modification par Merlin95 ; 20/07/2017 à 22h56.

  7. #97
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : probabilités dans les échecs

    mes 15 config sont.
    4B0
    3BO,1B1
    3B0,1B2
    2BO,2B1
    2B0,2B2
    2B0,1B1,1B2
    1B0,3B1
    1B0,3B2
    1B0,1B1,2B2
    1B0,2B1,1B2
    3B1,1B2
    1B2,3B2
    2B1,2B2
    4B1
    4B2
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  8. #98
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : probabilités dans les échecs

    cela étant , comme tu as écrit un programme et moi fait un calcul "à la main" pour chaque config.
    nos résultats étant proches, je doute fort d'une erreur de méthode d'un coté ou de l'autre.
    l'hypothèse la plus probable étant une erreur de calcul de ma part quelque part !(*)
    cordialement.

    (*) une erreur méthodologique conduirait normalement à des écarts importants ( ou alors ce serait un vrai coup de bol ).
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  9. #99
    midorima

    Re : probabilités dans les échecs

    Bonjour
    je je suis en train de compter a la main les 15 cas de ansset
    et pour certains je galère trop avec les fautes et les incertitude
    ansset peux tu m'expliquer un cas pour faire tous les autres
    je prèfèrerais que tu prennes le cas de 1B0, 3B2 car la troiseme B2 est en fonction de la 2èeme ce qui reviendra a faire bcp de cas
    or comme ma première méthode
    merci

  10. #100
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : probabilités dans les échecs

    pour 1B0,3B2 :
    16 poss pour le B0 ( cadran opposé aux noires donc positions indépendantes des B2 )
    12*7*4/(3!) pour les 3B2 soit 56 poss. ( division par 3! pour passer des arrangements aux combinaisons )
    d'où
    16*56=896 combinaisons.

    pour moi les B2 sont dans le cadran des noires, bien sur.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  11. #101
    Merlin95

    Re : probabilités dans les échecs

    Voici pour aider à valider les résultats, le nombre de solutions par configs donné par le programme :

    4B0 : 24
    3BO,1B1 : 768
    3B0,1B2 : 1152
    2BO,2B1 : 6336
    2B0,1B1,1B2 : 10368
    2B0,2B2 : 3024
    1B0,3B1 : 14592
    1B0,2B1,1B2 : 22464
    1B0,1B1,2B2 : 8064
    1B0,3B2 : 704
    4B1 : 8304
    3B1,1B2 : 10944
    2B1,2B2 : 3696
    1B2,3B2 : 352
    4B2 : 9

    total : 90801

  12. #102
    midorima

    Re : probabilités dans les échecs

    rebonjour
    alors d'abord pour la 1B0,3B2 moi je troiuve comme ansset soit 896 mais merlin tu trouve 768
    et je trouve un autre probleme
    comme par exemple 1B0,3B1
    POUR B0 C4EST 16 ENSUITE POUR LES 3 B1 la premiere a 24 la 2eme a 18
    mais la 3eme est en foncion de la deuxieme elle peut avoir 12 ou 14
    que dois je faire dans ce cas
    meme chose pour 1BO, 2B1, 1B2
    B0 a 16
    2B1 c'est 24*18
    mais la B2 est en fonction des 2B1
    si les 2B1 sont dans le meme quadron alors B2 a 6 cases possibles
    mais sinon et que il ya une cases commune pour les 2 B1
    alors la B2 aura 7 cases possibles
    que dois je faire dans ces cas la
    dois je additionner 7+6 pour cella et continuer normalement

    et pour la premmiere 12+14 ??
    merci de repondre

  13. #103
    midorima

    Re : probabilités dans les échecs

    et pour 4B2 je trouve 14 non pas 9

  14. #104
    Merlin95

    Re : probabilités dans les échecs

    Citation Envoyé par midorima Voir le message
    et pour 4B2 je trouve 14 non pas 9
    C'est normal avec B2 c'est subtil aussi, ce n'est pas 12*7*4*1/4! car suivant où tu mets la deuxième tour, tu peux avoir 4 ou 3 ou 2 possibilités la tour 3.
    Pire ca dépend même de la position de la première tour.

    Par exemple, si la première rouge est en (1, 3) (1ère colonne, 3ème ligne), tu as
    2 cas pour la 2ème tour où tu as ensuite 4 possibilités pour la tour
    4 cas pour la 2ème tour où tu as ensuite 3 possibilités pour la tour
    1 cas pour la 2ème tour où tu as ensuite 2 possibilités pour la tour

    Et par exemple avec la première rouge en (1, 4) (1ère colonne, 4ème ligne), tu as seulement
    2 cas pour la 2ème tour où tu as ensuite 4 possibilités pour la tour
    3 cas pour la 2ème tour où tu as ensuite 3 possibilités pour la tour
    1 cas pour la 2ème tour où tu as ensuite 2 possibilités pour la tour

    Bref le décomptage en B2 n'est pas évident.
    Dernière modification par Merlin95 ; 26/07/2017 à 16h33.

  15. #105
    midorima

    Re : probabilités dans les échecs

    oui ce n'est pas évident donc que doit on faire avec de tel cas ?

  16. #106
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : probabilités dans les échecs

    le pb, c'est les symétries, j'en trouve 9 uniquement aussi pour 4B2.
    des cas symétries se pose aussi dans d'autres décomptes.
    Dernière modification par ansset ; 26/07/2017 à 16h40.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  17. #107
    Merlin95

    Re : probabilités dans les échecs

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    C'est normal avec B2 c'est subtil aussi, ce n'est pas 12*7*4*1/4! car suivant où tu mets la deuxième tour, tu peux avoir 4 ou 3 ou 2 possibilités la tour 3.
    Pire ca dépend même de la position de la première tour.

    Non, erreur, ca ne semble pas dépendre de la position 1ère tour, on a donc

    On a toujours,
    2 cas pour la 2ème tour où tu as ensuite 4 possibilités pour la tour
    4 cas pour la 2ème tour où tu as ensuite 3 possibilités pour la tour
    1 cas pour la 2ème tour où tu as ensuite 2 possibilités pour la tour

    D'où
    (12 x 2 * 4* 1) + (12 x 4 * 3* 1) + (12 x 1 * 2* 1)/4! = 11

    Je ne tombe pas sur 9 (fourni par mon programme), il doit y avoir encore une erreur quelque part, mais je ne vois pas où.
    Dernière modification par Merlin95 ; 26/07/2017 à 16h51.

  18. #108
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : probabilités dans les échecs

    grrrr !
    c'est une énigme à vous rendre marteau.
    les 9 que j'ai trouvé sont clairement "à la main" sans aucun calcul, juste en "dessinant" les cas possibles.
    sur un nb aussi faible, on peut vérifier ainsi.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  19. #109
    Merlin95

    Re : probabilités dans les échecs

    De plus dans cette config 4B2 c'est sur que le résultat est 9, car par un autre raisonnement pour la première colonne on pose une tour on a 3 possibilité, pour la deuxième on a encore 3 possibilités, ensuite les tours 3 et 4 il n'y a qu'une place pour elle sur les colonne 3 et 4, d'où le nombre de possibilités est 3x3 = 9.

  20. #110
    Merlin95

    Re : probabilités dans les échecs

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    grrrr !
    c'est une énigme à vous rendre marteau.
    les 9 que j'ai trouvé sont clairement "à la main" sans aucun calcul, juste en "dessinant" les cas possibles.
    sur un nb aussi faible, on peut vérifier ainsi.
    Oui mais perso, je me suis basé sur un algo qui compte toute les possibilités tour chacune unique pour diviser enfin par 4! donc c'est embêtant de pas savoir où est l'erreur surtout vu qu'elle pourrait éventuellement être présente pour d'autres cas.
    Dernière modification par Merlin95 ; 26/07/2017 à 17h00.

  21. #111
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : probabilités dans les échecs

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    Oui mais perso, je me suis basé sur un algo qui compte toute les possibilités tour chacune unique pour diviser enfin par 4! donc c'est embêtant de pas savoir où est l'erreur surtout vu qu'elle pourrait éventuellement être présente pour d'autres cas.
    exactement!
    c'est un peu pourquoi le truc ( supposé assez simple ou disons abordable avec méthodologie ) est en fait bourré de "pièges".
    et donc la nécessité de confronter chaque calcul par une verif avec un programme bien foutu pour ajuster certains trucs piégeux.
    amicalement.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  22. #112
    Merlin95

    Re : probabilités dans les échecs

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    exactement!
    Ici l'explication de mon erreur : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5950931

  23. #113
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : probabilités dans les échecs

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    Voici pour aider à valider les résultats, le nombre de solutions par configs donné par le programme :

    4B0 : 24
    3BO,1B1 : 768
    3B0,1B2 : 1152
    2BO,2B1 : 6336
    2B0,1B1,1B2 : 10368
    2B0,2B2 : 3024
    1B0,3B1 : 14592
    1B0,2B1,1B2 : 22464
    1B0,1B1,2B2 : 8064
    1B0,3B2 : 704
    4B1 : 8304
    3B1,1B2 : 10944
    2B1,2B2 : 3696
    1B2,3B2 : 352
    4B2 : 9

    total : 90801
    je les retrouve tous par calcul, sauf le 1B0,3B2 !
    une dernière inattention qcq part !
    Dernière modification par ansset ; 27/07/2017 à 08h47.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  24. #114
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : probabilités dans les échecs

    yep ! corrigé, tout est OK.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  25. #115
    midorima

    Re : probabilités dans les échecs

    RE BONJOUR
    pour moi
    4BO 3BO,1B1 3B0,1B2 2B0,2B1 2B0,2B2 2B0,1B1,1B2 et 1B0,3B2
    je l'ai trouve comme toi mais les autre non et je ne vois pas pourquoi
    comme par exemple pour 1B0,3B1
    16*24*18*(12+14)/3! = 29952 pourquoi ce n'est pas juste
    et pour 4B0 je n'ai pas compris le calcul
    (12 x 2 * 4* 1) + (12 x 4 * 3* 1) + (12 x 1 * 2* 1)/4! = 11
    (12*2*4*1 + 12*4*2*1 + 12*1*2*1)/4! = 9

  26. #116
    midorima

    Re : probabilités dans les échecs

    euh rebonjour
    finalement en relisant a tete reposé j'ai compris ou ete mes erreurs
    et compris les calculs
    mercii sinon

  27. #117
    Merlin95

    Re : probabilités dans les échecs

    Pour 4B0, au départ, il y a 12 positions pour la 1ère tour.
    La deuxième tour a ensuite 7 positions qui se décomposent ainsi :

    - pour 2 positions, la troisième en a 4, la dernière en a une
    - pour 4 positions, la troisième en a 2, la dernière en a une
    - pour 1 position, la troisième en a 2, la dernière en a une

    on a ainsi parcouru toutes les possibilités (notamment pour la deuxième tour qui avait 7 possibilités).

    D'ou pour 4B0, on a nombre de possibilités (12 * 2 * 4 +12* 4* 2 + 12 *1 * 2).
    Pour 1B0, 3B1.
    On a pour B0 16 possibilités. ensuite pour la deuxième tour en B1 on a 12 possibilités dans le cadran latéral et 12 dans l'écran vertical bas.
    Ensuite pour la troisième on a si elle est du coté opposé à la tour 2, 12 possibilités, mais si elle est du même coté, on a 6 possibilités.
    Pour la quatrième tour, on a quand les deux tours (2 et 3) était du même coté (2+12) possibilités, et quand elle était de l'autre coté 12 possibilités (6 pour le cadran latéral, et 6 pour le cadran vertical du bas).

    Ensuite en B0 tu pouvais avoir la tour 1, ou la tour 2, ou la tour 3 ou la tour 4. Il faut donc multiplier le nombre de combinaison précédent par 4.

    Ca donne donc :
    suivant qu'en B0 tu avais la tour 1 ou la tour 2 ou ... : 4 * (
    pour la tour 2 dans le cadran latéral droit, la tour 3 du même coté que la tour 2 : (16 * 12 * 6 * 20) +
    pour la tour 2 dans le cadran latéral droit, la tour 3 de l'autre coté que la tour 2 : (16 * 12 * 12 * 12) +
    pour la tour 2 dans le cadran vertical bas, la tour 3 du même coté que la tour 2 : (16 * 12 * 6 * 20) +
    pour la tour 2 dans le cadran latéral droit, la tour 3 de l'autre coté que la tour 2 : (16 * 12 * 12 * 12)
    On divise par 4! pour passer des arrangements aux combinaisons : )/4!.

    D'où nombre de solutions = 4 * (2 * ((16 * 12 * 6 * 20) + (16 * 12 * 12 * 12)))/4! = 14592

    Ceci dit, c'est fastidieux et il faut aussi dire que le problème se résout de manière à la fois plus conceptuelle et plus générale, en utilisant le principe d'exclusion/inclusion. Avec cette méthode le résultat est fourni en une ligne ou presque. Malheureusement je n'ai jamais utilisé ce genre de raisonnement.

    Edit : croisement, je laisse néanmoins au cas où.

  28. #118
    midorima

    Re : probabilités dans les échecs

    Oui Oui merci
    j'ai compris cette fois
    il faut dire que cet exercice est compliqué
    maintenant il faut que j'étudie cete méthode d'inclusion exclusion
    car moi aussi je n'ai pas trop croisé cette méthode
    et en fin MERCI POUR TOUS

  29. #119
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : probabilités dans les échecs

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    Ceci dit, c'est fastidieux et il faut aussi dire que le problème se résout de manière à la fois plus conceptuelle et plus générale, en utilisant le principe d'exclusion/inclusion. Avec cette méthode le résultat est fourni en une ligne ou presque. Malheureusement je n'ai jamais utilisé ce genre de raisonnement.
    .
    je suis curieux de voir une démo ou un calcul en "deux lignes" max !
    Dernière modification par ansset ; 30/07/2017 à 10h28.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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