Suite et complexes

[Nonimamie]

Bonjour,

J'ai un travail à effectuer avec plusieurs exercices dont l'un porte sur les suites et les complexes.
J'ai réussi les deux premières questions puis je bloque.

Voici l'énoncé :
On considère la suite (u_n) définie dans C par u₀=1 et u_n+1=i u_n.
1)Calculer u₁, u₂, u₃ et u₄.
2)a)Quelle est la nature de la suite (u_n) ?
b)Exprimer u_n en fonction de n.
c)Montrer que si n est multiple de 4 alors u_n=1.
Indication : Un entier n multiple de 4 s'écrit sous la forme n=4k avec k entier.
3)On considère la somme S=1+i²+1³+...+i²⁰¹⁵. Calculer S.

Je n'arrive pas l'exercice à partir de la question 2)b).

Merci d'avance,
Nonimamie
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[jacknicklaus]

conformément à la charte du forum, peux tu commencer par nous donner tes résultats aux premières questions?
de plus, ca va sérieusement aider pour ton blocage, car la réponse à 2b découle directement de 2a

[Nonimamie]

J'ai trouvé plusieurs réponses :
2)a) Une suite géométrique de raison i et de premier terme u₀=1.
2)b)u_n=iⁿ
2)c)u_n=iⁿ=i^4k=(i⁴)^k=(i*i*i*i)^k=(i²*i²)^k=((-1)*(-1))^k=1^k=1

je bloque à la question 3 ...

[jacknicklaus]

il faut connaître la formule, TRES TRES utile, d'une somme de termes d'une suite géométrique, de 1er terme 1 et de raison x :

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nonimamie]

Donc on a :

1-qⁿ⁺¹/1-q, soit 1-iⁿ⁺¹/1-i et après ?!

[fartassette]

Bonjour,


jacknicklaus t'a indiqué la formule te permettant de calculer une somme d'une suite géométrique.En effet , la raison est bien i le premier terme vaut 1 .Il te manque le dernier terme .... ?

[Nonimamie]

Le dernier terme est 2016, mais je ne sais pas comment calculer :
(1-i²⁰¹⁶)/(1-i)

[jacknicklaus]

tu exagères !
ne crois tu pas qu'il y a un rapport avec la question où tu as montré que i élevé à toute puissance multiple de 4 valait 1 ??

indice : 2016 = 4 x 504 !

[Nonimamie]

On a donc : i²⁰¹⁶=1 ?

[albanxiii]

On va pouvoir comparer les réponses : http://www.les-mathematiques.net/pho....php?4,1561666

[Nonimamie]

Je ne comprends vraiment pas la question 3 ...
(1-1)/(1-i) ??

[fartassette]

ah bon?

ou se situe l'incompréhension?

[Nonimamie]

Mon résultat est donc : 0/1-i, soit 0 ???

[fartassette]

je ne comprends pas vôtre interrogation

Vous doutez de quelque chose?

[Nonimamie]

J'ai du mal à comprendre pourquoi la réponse de la question 3 est 0:
Si je résume, on a :
(1-iⁿ⁺¹)/(1-i)=(1-i²⁰¹⁵+1)/(1-i) = (1-i²⁰¹⁶)/(1-i)=(1-i^4*504)/(1-i)=(1-1)/(1-i)=0/(1-i)=0.
Est-ce que c'est ça ? Est-ce que j'ai rédigé correctement ?

Merci

[fartassette]

J'ai du mal à comprendre pourquoi la réponse de la question 3 est 0:
Si je résume, on a :
Remarquons qu'il s'agit d'une somme de suite géométrique de raison i et de premier terme 1
Soit,
S=(1-iⁿ⁺¹)/(1-i)= (1-i²⁰¹⁶)/(1-i)=(1-i^4*504)/(1-i)=(1-1)/(1-i)=0

je vous ai fais un peu de nettoyage! si on calculais les premiers termes de cette somme ,
Dèja

:

peut 'on avoir une intuition? Vs comprenez?

[Nonimamie]

D'accord, je comprends beaucoup mieux ! Est-ce correct si je rédige comme ceci :

s=1+i+i²+i³+...+i²⁰¹⁵
S=i⁰+i¹+i²+i³+...+i²⁰¹⁵
S=(1-iⁿ⁺¹)/(1-i)
S=(1-i²⁰¹⁶)/(1-i)
S=(1-i^4*504)/(1-i)
S=(1-1)/(1-i)
donc S=0

[fartassette]

Il faut simplement écrire qu'il s 'agit d'une somme de suite géométrique de raison i , puis calculer cette somme avec la fameuse formule cité par jacknicklaus .Sa ne sert à rien de parsemer le S partout

[Nonimamie]

Il faut donc écrire :
S=1+i+i²+i³+...+i²⁰¹⁵ =i⁰+i¹+i²+i³+...+i²⁰¹⁵
On a donc : S=(1-iⁿ⁺¹)/(1-i)=(1-i²⁰¹⁶)/(1-i)=(1-i^4*504)/(1-i)=(1-1)/(1-i)
donc S=0
Il est préférable d'écrire tout à la suite plutôt que sur plusieurs lignes ?!

[Nonimamie]

Merci à tous pour vos réponses.