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Exercices de théorie des nombres

  1. Enzo2718281828

    Date d'inscription
    mai 2017
    Messages
    22

    Exercices de théorie des nombres

    Bonjour,
    Il y a deux exercices qui me posent problème:
    1) prouver que 5460|n^25-n pour n impair
    J'ai décomposé 5460 en facteurs premiers: 2^2*3*5*91, mais je n'arrive pas à prouver que l'expression est divisible par 91

    2) trouver le reste de la division de 15! par 323
    323=17*19
    Le reste quand on divise par 19 est -3 et 1 quand on divise par 17. J'ai donc l'équation (15!-16)(15!+1)=0 mod 323, mais j'ai plusieurs solutions à la fin
    Merci

    -----

     


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  2. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    3 204

    Re : Exercices de théorie des nombres

    Bonjour,

    1) Vous ne semblez pas avoir détecté que 91=7*13...

    2) C'est une application du théorème des restes chinois*. Si vous ne l'avez pas dans votre cours, je rappelle ici le principe :

    il faut commencer par trouver a et b t.q. 19a =1 mod 17 et 17b =1 mod 19

    Ensuite, on peut vérifier que 15! va être congru à [19a*(15! mod 17)+17b*(15! mod 19) ] modulo 17*19


    * lycée, vraiment? Ce n'est plus au programme depuis bien longtemps (en tout cas en France....)
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     

  3. Enzo2718281828

    Date d'inscription
    mai 2017
    Messages
    22

    Re : Exercices de théorie des nombres

    Bonsoir,

    1)Effectivement, il avait une tête de nombre premier alors je n'ai pas vérifié
    2)En suivant la méthode, j'ai réussi à trouver le reste.

    En fait, ce ne sont pas des exercices de lycée, mais d'un ouvrage sur la théorie des nombres.
    Je prépare le concours général et j'ai vu beaucoup de problèmes de ce type dans les sujets, donc j'essaye de faire des choses pour être à l'aise avec des problèmes difficiles.
    Merci beaucoup
     

  4. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    22 065

    Re : Exercices de théorie des nombres

    Bonjour.

    Le polynôme est facilement factorisable, ce qui donne une première factorisation de .

    Bon travail !
     


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