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Méthode de Cardan

  1. henryallen

    Date d'inscription
    septembre 2015
    Messages
    97

    Méthode de Cardan

    Bonsoir

    Je viens d’essayer de comprendre et d’appliquer la méthode de Cardan pour la résolution de certaines équations de degré 3. J’ai réussi pour certaines, mais je bloque sur une ... x^3-7x-3=0. Je tombe en effet sur une équation de degré 2 n’admettant aucune racine réelle ... Or il semblerait que cette équation de degré 3 admette trois racines réelles ... Est-ce que je me suis trompé? Ou bien est-ce que je n’ai pas compis quelque chose?

    B0A65BF9-FAA0-4B17-A7EE-45AA50C2ACAC.jpg

    Merci d'avance
    Bonne soirée

    -----

     


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  2. jacknicklaus

    Date d'inscription
    janvier 2017
    Messages
    1 189

    Re : Méthode de Cardan

    Ca fait bien longtemps que je n'ai pas pratiqué Cardan, mais je crois me souvenir que 3 racines réelles de l'équation de degré 3 n'entraîne absolument pas 2 racines réelles de l'équation de degré 2 issue de la méthode. (il faut résoudre l'équation de degré 2 dans C)
    Dernière modification par jacknicklaus ; 08/01/2018 à 20h13.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
     

  3. henryallen

    Date d'inscription
    septembre 2015
    Messages
    97

    Re : Méthode de Cardan

    En fait de ce que j’ai vu, on trouve U et V (je ne sais pas si mon image a été validée) puis finalement une des racines est la somme de leurs racines cubiques. Or ici, je ne trouve qu’une racine complexe pour le degré 2, je devrais donc prendre sa racine cubique ?
     

  4. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 622

    Re : Méthode de Cardan

    L'équation du second degré a toujours deux racines qui sont les valeurs de u3 et v3.

    IL faut en déterminer les racines cubiques, et il n'est pas facile de trouver une racine cubique pour un nombre complexe… par contre les deux autres sont immédiates à écrire.

    On obtient ainsi 3 valeurs pour u et 3 valeurs pour v, soit 9 valeurs pour le couple (u,v). Il faut alors sélectionner les couples convenables d'après la valeur du produit uv.

    Ici, comme l'équation du second degré est à coefficients réels, les valeurs de u3 et v3 sont conjuguées, donc il va y avoir des couples (u,v) où u et v sont conjugués, d'autres non.

    Le nombre de racines réelles est le nombre de couples (u,v) formés de deux nombres complexes conjugués parmi les 3 que l'on sélectionne par la valeur de uv.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  5. henryallen

    Date d'inscription
    septembre 2015
    Messages
    97

    Re : Méthode de Cardan

    Bonsoir

    Je ne suis pas sûr d’avoir compris d’où sortaient les 3 valeurs de u et les 3 de v ...
     


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  6. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 622

    Re : Méthode de Cardan

    Si on trouve par exemple : , il est facile de voir, avec un peu d'habitude et la forme trigonométrique, que : .

    Mais il y a 3 racines en : , et .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  7. henryallen

    Date d'inscription
    septembre 2015
    Messages
    97

    Re : Méthode de Cardan

    Merci beaucoup, je me pencherai sur ça demain ! Bonne soirée
     

  8. henryallen

    Date d'inscription
    septembre 2015
    Messages
    97

    Re : Méthode de Cardan

    Bonsoir

    J’ai ici deux nombres complexes, r1 et r2, dont j’aimerais déterminer les racines cubiques. Comment devrais-je ici procéder ?
    53B498EF-D2EE-4164-9B5D-75E7B06BA814.jpg

    Merci d´avance
    Bonne soirée
     

  9. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 622

    Re : Méthode de Cardan

    Je résume :

    Les solutions de l'équations sont les : avec : et : .
    J'ai pris parce que le signe + me va bien, et je laisse le signe - de à dont je ne me servirai pas.

    Le plus simple est de calculer les racines cubiques de sous forme trigonométrique.

    On écrit donc : avec
    le module facilement calculable : ,
    l'argument pas sympathique ; une détermination est : et il ne me semble pas que l'on puisse en donner une expression exacte plus simple.

    Les trois racines cubiques de sont alors : , et

    Elles sont de la forme où : et est un nombre complexe de la forme : , ce qui assure que : .

    Comme on a : , chacune des valeurs de conduit à : et : .

    En prenant successivement les trois valeurs possibles de , on obtient les trois racines réelles de l'équation du troisième degré :





    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  10. henryallen

    Date d'inscription
    septembre 2015
    Messages
    97

    Re : Méthode de Cardan

    Bonjour

    Merci pour ces explications ! J’ai donc essayé de les appliquer:
    0BA1636A-132A-4811-BF96-3934DBF88B52.jpg
    F53AF14F-4235-4CBC-8384-BA16C629DC07.jpg
    Or le résultat que je trouve (j’ai juste cherché une racine pour le moment) semble ne pas fonctionner, même en rajoutant 4/3 (je viens de voir que la dernière ligne comporte une erreur que j´ai oubliée de corriger, mais qui n’est pas à l´origine du problème) du fait du changement de variable du début ... Je ne vois pas où j’ai pu faire une erreur ...

    Merci d’avance
    Bonne journée
     

  11. henryallen

    Date d'inscription
    septembre 2015
    Messages
    97

    Re : Méthode de Cardan

    Bon, finalement j'avais juste oublié de diviser l'angle par 3 ... Oops Merci beaucoup pour toutes vos réponses en tout cas !
    Bonne journée
     

  12. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 622

    Re : Méthode de Cardan

    Une première remarque : , donc : , ce qui soulagera les écritures.

    Une seconde remarque : lorsqu'on écrit un nombre complexe sous deux formes et , on calcule effectivement le module par : , et le cosinus et le sinus par : et , mais on ne fait pas le quotient des valeurs obtenues pour calculer la tangente, on a plus simplement : et.

    Le problème vient du calcul de l'argument .
    La fonction arccosinus est à valeurs dans .
    La fonction arcsinus est à valeurs dans .
    La fonction arctangente est à valeurs dans .

    Si un nombre complexe est dans le premier cadran : , et , son argument admet une détermination dans que l'on peut calculer avec un arccosinus, un arcsinus ou un arctangente.

    Si un nombre complexe est dans le deuxième cadran : , et , son argument admet une détermination dans que l'on ne peut calculer qu'avec un arccosinus, mais pas avec un arcsinus ou un arctangente (ou alors indirectement…).

    Si un nombre complexe est dans le quatrième cadran : , et , son argument admet une détermination dans que l'on ne peut pas calculer avec un arccosinus (ou alors indirectement…), il faut se servir d'un arcsinus ou d'un arctangente.

    Cas délicat : si un nombre complexe est dans le troisième cadran : , et , son argument admet une détermination dans que l'on ne peut pas calculer directement avec un arccosinus, un arcsinus ou un arctangente.

    Dans le cas qui nous occupe, on est systématiquement confronté à deux nombres complexes et conjugués, et on peut toujours travailler avec celui qui a une partie imaginaire positive afin d'éviter le cas délicat.
    En faisant ce choix, dans le premier exemple, j'avais à trouver la forme trigonométrique d'un nombre complexe du premier cadran, et j'avais calculé l'argument avec un arctangente.

    Par contre, dans ce nouvel exemple, on travaille avec : . Ce nombre complexe est dans le deuxième cadran, on calcule donc une détermination de l'argument à partir de: (après simplifications), d'où une valeur correcte :



    Les trois racines de l'équation initiales sont donc :








    Cette question m'a permis de constater que, l'un des deux nombres conjugués et étant dans le premier ou le deuxième cadran, on peut toujours calculer une détermination de son argument à partir de la valeur de , ce que j'ai peut-être su… mais très vite oublié.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  13. henryallen

    Date d'inscription
    septembre 2015
    Messages
    97

    Re : Méthode de Cardan

    Bonjour !

    Merci, je venais justement de me rendre compte que ma solution était en réalité erronée ... Je ne savais pas que arcsinus, arccosinus et arctangente avaient une détermination dans ces différents intervalles, merci de me l'apprendre
    En tout cas, merci pour tout le temps que vous avez passé pour me répondre et m'éclairer ! Je vais essayer de reprendre une équation de degré 3 admettant trois racines réelles, et de la résoudre ... En espérant ne pas avoir à revenir sur ce post pour une autre question

    A bientôt et bonne fin d'après-midi
     


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