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Produit vectoriel : invariance par isométrie

  1. #1
    paul128

    Produit vectoriel : invariance par isométrie

    Bonjour tout le monde,

    Sur la page de Wikipedia (https://fr.wikipedia.org/wiki/Produi...som%C3%A9tries), dans la démonstration de l'invariance du produit vectoriel par isométrie, je n'ai pas compris la deuxième égalité



    ni la quatrième



    Est-ce qu'il y a quelqu'un qui pourrait m'aider s'il vous plaît ?

    Merci beaucoup

    -----


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  3. #2
    mariepour

    Re : Produit vectoriel : invariance par isométrie

    Bonjour!
    En fait, ils te disent que, si tu effectue la transformation de ta base (ton repère) par l'isométrie (par exemple une rotation), et que tu replaces tes vecteurs dedans, c'est comme si tu avais transformé chaque vecteur. Du coup ton produit mixte reste inchangé.
    Enfin je le comprends comme ça.
    Mais tu es en quelle classe? Parce que c'est un peu complexe , je trouve, comme cours sur les produits vectoriels pour un Lycéen.....
    Cordialement

  4. #3
    mariepour

    Re : Produit vectoriel : invariance par isométrie

    Bonjour!
    Si tu effectues la transformation de ta base (ton repère) par l'isométrie (par exemple une rotation), et que tu transformes tes vecteurs u, v et w,( tu leur fait faire la même rotation dans cet exemple) tu te retrouves dans la même configuration, puisque les distances et les angles restent inchangés. Donc ton produit mixte est inchangé.
    Pour imager le truc, tu as juste "fait tourner" l'ensemble.
    Dernière modification par mariepour ; 14/02/2018 à 06h55.

  5. #4
    mariepour

    Re : Produit vectoriel : invariance par isométrie

    C'est encore pas tout à fait ça, on va y arriver.lol
    La première égalité signifie: la transformation de la base (l'ensemble des trois vecteurs) , qu'ils désignent par [u,v,w], c'est la base constituée par les trois vecteurs transformés.
    C'est à dire que si tu fais tourner (dans l'exemple d'une rotation) les trois vecteurs séparément, c'est comme si tu faisait tourner l'ensemble. Du coup ton produit mixte ne change pas.

  6. #5
    mariepour

    Re : Produit vectoriel : invariance par isométrie

    C'est encore pas tout à fait ça, on va y arriver.lol
    La première égalité signifie: la transformation de la base (l'ensemble des trois vecteurs ), c'est la base elle même. Puisque tu as les mêmes angles, les mêmes distances et le même sens.
    C'est à dire que si tu fais tourner (dans l'exemple d'une rotation) les trois vecteurs séparément, c'est comme si tu faisait tourner l'ensemble. Du coup ton produit vectoriel ne changera pas, et ton produit scalaire non plus.
    En tout cas merci, ça faisait longtemps que je n'avais pus touché à ça.....

  7. #6
    paul128

    Re : Produit vectoriel : invariance par isométrie

    Bonjour mariepour,

    Merci pour la réponse, je comprends déjà un peu mieux.
    Mais moi, je cherche une démonstration de ces égalités, en utilisant des propriétés mathématiques pour passer du membre de gauche au membre de droite (ou inversement).

    C'est la première fois que je vois ces égalités et j'aimerais comprendre ...

  8. #7
    talvashof

    Re : Produit vectoriel : invariance par isométrie

    En essayant de ne pas répéter ce que dit wikipaedia juste au dessus des égalités :
    Tu appelles (i,j,k) une base orthonormée. (I,J,K) = (f(i), f(j), f(k)) est l'image de cette base par f. Elle est orthonormée aussi.

    tu décomposes dans (i,j,k) : u = ai +bj+ck, v= a'i +b'j +c'i, w = a'"i + b"j +c"k
    par linéarité
    tu as f(u) = af(i) + bf(j) + c f(k) = aI + bJ + cK Idem avec v et w.
    Tu as donc bien que les coordonnées de f(u) sont (a,b,c) dans la base image, comme (a,b,c) sont les coordonnées de u dans la base de départ.

    Donc ton produit mixte ne change pas de valeur par changement de base par une isomorphisme linéaire : c'est ce que dit la deuxième égalité.
    Si tu n'es toujours pas convaincu : calcule le produit vectoriel de u par v, tu obtiendras (bc'-b'c)i + (ca'-ac')j + (ab'-ba')k
    donc ce produit vectoriel a pour coordonnées (bc'-b'c,ca'-ac', ab'-ba') dans la base (i,j,k)

    de même pour le produit vectoriel de f(u) par f(v) :
    (bc'-b'c)I + (ca'-ac')J + (ab'-ba')K (donc les coordonnées sont aussi (bc'-b'c,ca'-ac', ab'-ba') mais cette fois dans la base (I,J,K)

    on fait le produit scalaire ensuite, pour u,v,w :
    ((bc'-b'c)i + (ca'-ac')j + (ab'-ba')k).w = (bc'-b'c)i + (ca'-ac')j + (ab'-ba')k (a"i+b"j+c"k) =a" (bc'-b'c) + b"(ca'-ac') + c"(ab'-ba')

    pour f(u), f(v), f(w), tu obtiens exactement la même chose (il suffit de remplacer les i,j,k par I,J,K, à la fin tout disparaît)


    et on obtient bien [f(u), f(v), f(w)]= [u,v,w]

    Je n'ai pas bien compris l'intérêt de la 4ème égalité dans wikipaedia, je pense qu'elle ne sert qu'à dire que le tout premier terme de la ligne est égal au 4ème.
    Il aurait été préférable je pense d'écrire :

    Pour tout w :
    Par définition : (f(u)∧f(v))⋅f(w)=[f(u),f(v),f(w)]
    or comme f est un isom. linéaire : [f(u),f(v),f(w)]=[u,v,w]
    Et comme par définition [u,v,w] = (u∧v)⋅w
    On a bien : f(u∧v)⋅f(w) = (u∧v)⋅w

    Ce qui serait effectivement un peu long pour du wikipaedia

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