Polynomes Et Complexes

[Matth.mz]

Voici un polynome def sur C
P(z)=Z^3-z²-(4+4i)-16+16i
je dois prouver que p(z) admet une solutio a reelle et une solution b imagi aire pure!
j ai commencer par factoriser par z soit:
z(z²-z-(4+4i)-16+16i=0
mais apres je ne voit pas comment resoudre le polynome si quelqu un peu me donner un coup de main merci

[iwio]

Je pense que pour prouver que p(z) admet comme racine un réel et un imaginaire pur, tu remplaces z par X (réel) et tu résouds l'équation pour ça il faut que X annule la partie réel et imaginaire de se que tu trouves.

X³-X²-X(4+4i)-16+16i=0
X³-X²-4X-16=0 et -4X+16=0

Mais je trouve qu'il n'y a pas de X qui vérifie cette équation.

Et pareil pour une racine imaginaire pure tu pose z=Xi
Mais c'est pareil; je trouve qu'il n'y a pas de solution.

Donc soit ma technique est fausse, soit je ne sais plus résoudre un système d'équation, ou soit il y a une erreur dans l'énoncé.
A vous de voir.

[Coincoin]

Salut,
Sinon tu dis que si la racine est réelle, P(z)=P(z)* avec z=z* (où l'étoile désigne le conjugué). Dans cette équation, t'as plein de termes qui se simplifient et ça se résout tout seul.

Pour la racine imaginaire, P(z)=P(z)* mais avec z*=-z.

[homotopie]

Je pense que pour prouver que p(z) admet comme racine un réel et un imaginaire pur, tu remplaces z par X (réel) et tu résouds l'équation pour ça il faut que X annule la partie réel et imaginaire de se que tu trouves.

X³-X²-X(4+4i)-16+16i=0
X³-X²-4X-16=0 et -4X+16=0

Mais je trouve qu'il n'y a pas de X qui vérifie cette équation.

Et pareil pour une racine imaginaire pure tu pose z=Xi
Mais c'est pareil; je trouve qu'il n'y a pas de solution.

Donc soit ma technique est fausse, soit je ne sais plus résoudre un système d'équation, ou soit il y a une erreur dans l'énoncé.
A vous de voir.

A mon humble avis, il n'y en effet pas de solution réelle (ni imag pure) à
Je pencherais pour une erreur dans la recopie de l'énoncé.

[Jeanpaul]

Si X réel est racine, alors X^3 - X² -4 - 16 = 0. Passe encore mais :
-4 i + 16 i = 0, ça devient trapu !

[iwio]

Si X réel est racine, alors X^3 - X² -4 - 16 = 0. Passe encore mais :
-4 i + 16 i = 0, ça devient trapu !

Pourquoi ça devient trapu, pour que l'equation s'annule avec X réel, il faut :

X³-X²-4X-16=0 et -4X+16=0,
car pour X³-X²-X(4+4i)-16+16i=0 il faut que la partie imaginaire et réel s'annule.

[Jeanpaul]

Désolé, je me basais sur l'équation donnée au début, qui n'est pas celle-là (une erreur sans doute).
Sinon, il faut que X^3 - X² - 4 X - 16 = 0
et 4 X - 16 = 0
et ça n'est pas compatible, sauf erreur.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

A priori, il y a une erreur d'énoncé puisque ni l'équation de départ, ni celle avec le "rajout de x" ne possède de racine réelle ou imaginaire pures...

Duke.

[iwio]

Désolé, je me basais sur l'équation donnée au début, qui n'est pas celle-là (une erreur sans doute).
Sinon, il faut que X^3 - X² - 4 X - 16 = 0
et 4 X - 16 = 0
et ça n'est pas compatible, sauf erreur.

Donc ce que j'avais dis avant était bon, il y a bien une erreur dans l'énoncé.

[Matth.mz]

desolé ja vais des probleme de connection il est vrai il y a une petite erreur d ennoncé voici se qu il faut lire:

P(Z)=z^3 - 2z² - (4+4i)Z - 16+16i

voila.
merci a tous.

[matthias]

Ca marche bien avec celui-là en effet. Maintenant que des méthodes t'ont été données, à toi de jouer.

[Matth.mz]

oui encore un grand merci a tous