une equation chaude

[euler2007]

salut a tous j arrive pas a trouver une astuce ou bien methode pour resoudre cette equation :
1+(2 exposant x)+(2 exposant 2x+1)=y carré
mais j ai trouvé que le couple (0,2) et solution de cette equation
merci d avance

[tize]

dans la deuxième parenthèse, c'est exposant (2x+1) ou exposant (2x) +1 ?

[euler2007]

c est exposant (2x+1)

[tize]

Dans tous les cas je te conseil de poser et de résoudre une équation du second degré en X avec y comme paramètre...

[euler2007]

daccord merci pour l idée ami je vais esseyer

[zinia]

Bonsoir,
Je suppose qu'il s'agit d'une équation diophantienne (dont les solutions cherchées sont des entiers ou des rationnels).
Sinon, à chaque x, on peut trouver un y
dans cette hypothèse, l'introduction d'un log devrait plutôt compliquer le problème.
Il me semble plus simple de poser ,
ce qui permet d'établir une équation plus exploitable :
X(X+1)=8Y(Y+1)
Reste à savoir si la solution est en entiers ou en rationnels

[unepierre]

Si on prend l'équation X(X+1)=8Y(Y+1) avec des X et Y quelconques, on se ramène à une équation de pell fermat qui possède une infinité de solutions. Pour ma part je ne suis pas sur que vérifier que ces solutions ne soit pas des puissances de 2 soit si simple. Je pense que le mieux est de garder l'équation de départ car la contrainte X=2^x est tres forte. Il faudrait peut
être en utilisant des congruences avec une descente infinie montrer que (x=0,y=2) et (x=4, y=23) sont les seules solutions
Au vu de la deuxième solution, ce problème me semble difficile

[g_h]

Envoyé par euler2007

salut a tous j arrive pas a trouver une astuce ou bien methode pour resoudre cette equation :
1+(2 exposant x)+(2 exposant 2x+1)=y carré
mais j ai trouvé que le couple (0,2) et solution de cette equation
merci d avance

Et si tu prenais tous les couples :

et


Pour
Non ?

(tu ne nous a pas précisé si x et y devaient etre entiers ! )

EDIT : Tex ne marche plus ?

[zinia]

Envoyé par unepierre

Si on prend l'équation X(X+1)=8Y(Y+1) avec des X et Y quelconques, on se ramène à une équation de pell fermat qui possède une infinité de solutions. Pour ma part je ne suis pas sur que vérifier que ces solutions ne soit pas des puissances de 2 soit si simple. Je pense que le mieux est de garder l'équation de départ car la contrainte X=2^x est tres forte.

Bonjour,
Je pense que tu as raison, il n'est pas difficile de trouver toutes les solutions en X=2^x. Trouver celles qui sont puissance de 2 est moins simple
D'où euler2007 nous sort cette question ?

[zinia]

En fait, il n'est pas très difficile de montrer que les seules solutions sont (0;2) et (4;23).
La solution (0;2) étant identifiée, on peut raisonner à partir de x>1, ce qui implique que y soit impair.
donc y²-1 sera multiple de 4 et on vérifie que x=2 n'est pas solution.
En posant y=2p+1, l'équation devient
avec x>2
p et p+1 sont de parités différentes, donc l'un des deux est multiple de 2^(x-2) et
On en déduit aisément que k est impair et inférieur ou égal à 3.
Il suffit alors de vérifier une à une les quatre possibilités dont une seule est solution (4;23)
Il n'y en a pas d'autres.
C'est un peu besogneux, il y a sans doute plus élégant

[euler2007]

salut a tous j ai sorti cet exercice de l olympiades internationales