dérivée n ieme

[nassoufa_02]

Salut tout le monde

j'ai une question concernant la dérivée n ieme de arctan x

je veux trouvé la derivée n ieme de cette fonction je trouve a l'aide de la réccurence et mes souvenir aussi (n − 1)! cos^n(arctan(x)) sin(n(arctan(x) +Pi/2)).
mais je veux le démontrer mis a part la réccurence.. mais avec leibniz et compagnie .. quelqu'un pour m'aider ?

[zinia]

Bonjour,

Qu'est-ce que tu racontes ?

[danyvio]

C'est clair comme du jus de goudron

[nassoufa_02]

bom bah alors je repose ma question autrement .. je veux trouver la dérivée n ieme de arctan sans raisonner par réccurence .

[zinia]

La dérivée nième de la fonction arctan s'écrit

où Pn est un polynome de degré n-1 vérifiant la relation de récurrence :
avec P1=1; P2=-2X; P3=6X²-2
je crois que ces polynomes possèdent des propriétés particulières ? Orthogonaux ?
Mais je ne pense pas que l'on puisse trouver une formule pour les déterminer directement sauf pour le premier coef qui est une factorielle au signe alterné

[Ksilver]

je n'ai pas trop le temps de me lancer dans le calcule, mais il n'est pas impossible que la formule que suggère Nafoussa soit juste tous de meme :

cos(arctan(x)),et sin(n arctan(x)) donne des fonctions en x qui ne vont s'exprimer qu'avec des fraction rationelle et des racines caré : il est donc possible qu'on retombe sur l'expression donné par Zinia.

[Ksilver]

"sans raisonner par réccurence ."

la en revanche c'est impossible

une dérivé n-iemme sa ce fait toujour pas recurence, (eventuellement par recurence imediate)

[nassoufa_02]

Salut,

il est certain que là je vois carrèment mieux .. mais sinon je ne sais pas si c'est la même chose mais on peut tout de même procéder autrement en décomposer la dérivée premiere de arctan x ..

je trouve quand même que c'est intéréssant ce "jus de goudron"
bien cordialement