intégration ,probabilité ,surface de sphère...

[invitec619acd1]

Bonjour à tous !!!
J'ai un exercice assez complexe donné en cour que je n'arrive pas à résoudre malgrès différentes méthodes possibles. Après vous avoir montré l'énoncé , je vous montrerais les hypothèses que j'ai trouvé ne vous découragez pas de toute cette lecture ) :

On vous propose un jeu de dés un peu spécial .Le dé est une boule de 10 cm de diamètre sur laquelle un point rouge est marqué. On lance le dés sur une table (horizontale) et on attend qu'il s'arrête. Le résultat du lancer est la hauteur en centimètres entre le point rouge et la table. Ainsi, le dé prend ses valeurs entre 0 et 10. Vous misez puis vous devez choisir l'une des options suivantes:

- Paris bas: vous pariez que le résultat du dé sera compri entre 0 et 3. Si vous avez raison, vous gagnez 4 fois la mise ( c'est à dire, vous reprenez votre mise, plus trois fois son montant). Sinon, vous perdez la mise.

- Paris haut: vous pariez que le résultat du dé sera compri entre 3 et 10. Si vous avez raison, vous gagnez 1,33 fois la mise (c'est à dire , vous reprenez votre mise, plus le tiers de son montant). Sinon, on perd la mise.
La question est celle -ci : Quelle option choisissez vous?
(Malgré la simplicité de la question, elle nous permettra de comprendre la probabilité que le point marqué soit à telle ou telle hauteur permet de modéliser le mouvement d'une protéine à la surface d'un électrode.c'est un problème clef de physico-chimie).

Donc mes méthodes sont assez différentes:

- 1ère méthode: j'ai calculé le volume de la sphère en réalisant une triple intégrale de 1dr d(téta) d(fi). En le réalisant tout d'abord de la hauteur 0à3 puis de 0à 7. Mais , je me demande au final si le volume est proportionnel à la surface , car le point rouge n'est que sur la surface de la sphère.

-2ème méthode: calculer l'aire de la sphère en sachant que l'aire est égal à 4piR^2. Mais comment trouver en fonction des différentes hauteurs voulues? Comment montere la proportionnalité des 2 paris ?

-3ème méthode: je trouve que c'est elle où l'on peut s'en sortir le plus . Soit un cylindre de même rayon qui englobe tout le cercle. Ainsi, nous pouvons appliquer le calcul de la surface du cylindre , en fonction d'une hauteur précise. mais cela ne sera qu'une approximation , car entre la sphère et le cylmindre , il y aura 4 petits "triangle " avec pour hypoténuse un arc de cercle.

Je me sens un peu perdu dans tout ça. Si vous pouviez m'aider à résoudre ce problème , ça serait super !

[invite79d10163]

Bonjour j'ai une idée sur ton probleme.

La trajectoire du point de la sphere est en somme assez simple. Lorsque l'on lance la boule, elle parcour une ligne droite car la table est horizontale. Donc le point de la sphere peut décrire soit une cycloide soit une ligne droite au cas limite ou le point se trouve à l'extrémité de la boule au moment du lancé.

A partir de ça tu dois pouvoir calculer ou le point se situe le plus souvent sur la sphere.

[invitec619acd1]

Oui, je suis d'accord avec toi. Mais ce point , il peut se trouver dans deux intervalle différents: soit de [0,3] ou bien [3,10]. Ce que l'on veut savoir en quelque sorte , c'est quelle surface est la meilleure afin d'obtenir le plus de pari gagné . Enfin, je comprend l'énoncé comme ça , il n'est pas très clair dans ma tête !
De plus, comment faire pour caluler cette trajectoire de droite dans une sphère si tu ne connais pas la distance?

[invite986312212]

je verrais les chose comme suit:
1) on peut se limiter à un cercle (ou un cylindre).
2) la boule a roulé une durée aléatoire et on peut supposer que la position du point rouge, repérée par l'angle entre le segment centre-point et la verticale, est distribué uniformément.
3) la hauteur du point rouge au-dessus de la surface est égale à

la question revient donc à calculer la probabilité que h>3 sachant que est uniforme entre 0 et

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec619acd1]

Est-ce que ceci reviendrait alors à calculer l'intégrale de cette sphère avec cette hauteur, mais dans les domaines différents?
Et aussi , comment faire pour calculer toutes les valeurs possibles de téta étant donné que l'angle ne sera jamais le même. on ne peut pas forcément se fier à la verticale si le point rouge se trouve par exemple en haut de la boule. Ca ferait du sinus ou c'est toujours du cosinus?

[inviteaf1870ed]

Pour moi la boule a une trajectoire rectligne, donc le point rouge suit une cycloïde. Je ne suis pas sur de l'argument sur les calottes sphériques ?

[yat]

Pour moi la boule a une trajectoire rectligne, donc le point rouge suit une cycloïde. Je ne suis pas sur de l'argument sur les calottes sphériques ?

C'est valable uniquement dans le cas idéal, cité plus haut, ou le point rouge est situé exactement dans le plan vertical contenant la trajectoire rectiligne du centre de la boule. A l'autre extrème, il peut aussi suivre une ligne droite. Mais le cas général se situe entre les deux. Seule l'homogénéité de répartition sur la surface peut donc être exploitée.

[invite79d10163]

C'est valable uniquement dans le cas idéal, cité plus haut, ou le point rouge est situé exactement dans le plan vertical contenant la trajectoire rectiligne du centre de la boule. A l'autre extrème, il peut aussi suivre une ligne droite. Mais le cas général se situe entre les deux. Seule l'homogénéité de répartition sur la surface peut donc être exploitée.

Entre les deux... c'est toujours une cycloide. La hauteur du point sur la trajectoire est donné par:
h = R - d cos(t)
ou d est la distance au centre, t le temps.
je pense que d est une variable aléatoire de loi uniforme sur [0,R], t une varaible uniforme sur [0,2pi]. maintenant il faut calculer le loi de probabilité de h.

[yat]

Entre les deux... c'est toujours une cycloide.

Selon wikipedia, non. La cycloide est bien la courbe décrite par un point d'un cercle qui tourne, et pas par n'importe quel point du disque correspondant. Une droite, par exemple, n'est donc pas une cycloide. Mais qu'importe, pusique la suite...

La hauteur du point sur la trajectoire est donné par:
h = R - d cos(t)
ou d est la distance au centre, t le temps.

...est juste quand même, on ne va pas tergiverser sur une définition.

je pense que d est une variable aléatoire de loi uniforme sur [0,R], t une varaible uniforme sur [0,2pi]. maintenant il faut calculer le loi de probabilité de h.

la répartition de d n'est certainement pas uniforme sur [0,R]... on en reviendrait à une aberration du même style que celle que je cite dans mon post précédent... je te laisse visualiser la chose pour voir l'erreur.

[yat]

Selon wikipedia, non. La cycloide est bien la courbe décrite par un point d'un cercle qui tourne, et pas par n'importe quel point du disque correspondant. Une droite, par exemple, n'est donc pas une cycloide.

Ou peut-être pas... finalement la définition de wikipedia n'est pas si claire, même si les équations et les schémas décrivent bien ce dont je parle... enfin, là n'est pas vraiment le sujet, puisqu'on est d'accord sur la formule

[invite79d10163]

la répartition de d n'est certainement pas uniforme sur [0,R]... on en reviendrait à une aberration du même style que celle que je cite dans mon post précédent... je te laisse visualiser la chose pour voir l'erreur.

Oui tu as raison puisque le point est situé sur une sphere est non un disque... une distribution aléatoire sur la surface d'une sphere ne correpond plus à une distribution aléatoire apres projection sur un plan.

[invite986312212]

mouais Yat a raison.

[invitec619acd1]

Moi j'ai trouvé totalement autre chose sur un autre point. J'ai pri un cylindre qui englobe toute ma sphère et qui fait donc un rayon de 10 cm également. Sachant que le point rouge peut se trouver n'importe ou sur le cylindre , il suffit de calculer la surface du cylindre en fonction de la hauteur, car, l'aire d'un cylindre sera: 2*pi*r*h. Ou h va varier. dans un premier temps de 0à 3 ; puis de 0 à 7. vu que l'on calcule avec cette méthode aussi bien la surface supérieure qu'inférieure, cette approximation revient à caluler la surface de la sphère.

[yat]

je verrais les chose comme suit:
1) on peut se limiter à un cercle (ou un cylindre).
2) la boule a roulé une durée aléatoire et on peut supposer que la position du point rouge, repérée par l'angle entre le segment centre-point et la verticale, est distribué uniformément.

Si on se limite à un cercle, on suppose qu'à chaque tour le point passe par le point le plus haut et le point le plus bas, ce qui est peu probable dans le cas d'une sphère. LA répartition du point n'est donc pas homogène sur le cercle...

[invite986312212]

Si on se limite à un cercle, on suppose qu'à chaque tour le point passe par le point le plus haut et le point le plus bas, ce qui est peu probable dans le cas d'une sphère. LA répartition du point n'est donc pas homogène sur le cercle...

peut-être... à mon avis on s'en fiche de la façon dont la sphère a roulé. On pourrait dire que le point de contact de la sphère avec la surface, une fois que la sphère est immobile, est uniforme sur la sphère. Et s'intéresser à la distribution de l'arc point de contact - point rouge, mais ça va revenir à ma solution j'en ai peur.

[yat]

peut-être... à mon avis on s'en fiche de la façon dont la sphère a roulé.

Exactement. Tout ce qu'on sait, c'est que sa position est répartie sur la surface de la sphère de manière homogène.

On pourrait dire que le point de contact de la sphère avec la surface, une fois que la sphère est immobile, est uniforme sur la sphère. Et s'intéresser à la distribution de l'arc point de contact - point rouge, mais ça va revenir à ma solution j'en ai peur.

Ca m'étonnerait, puisqu'elle est fausse : si ton angle est uniforme entre 0 et , tu ne tiens pas compte de la distance entre le point rouge et l'axe de rotation de la sphère, tu considères qu'elle est toujours de 5. Ca revient bien au cas extrème que j'ai cité deux fois plus haut.

[invite986312212]

Ca m'étonnerait, puisqu'elle est fausse : si ton angle est uniforme entre 0 et , tu ne tiens pas compte de la distance entre le point rouge et l'axe de rotation de la sphère, tu considères qu'elle est toujours de 5. Ca revient bien au cas extrème que j'ai cité deux fois plus haut.

pour moi il n'y a pas d'axe de rotation de la sphère, peut-être que la surface était rugueuse et que la sphère a rebondi un certain nombre de fois de façon erratique, etc. Je sais juste que la sphère repose sur un point quelconque et uniforme de sa surface et je dis que l'arc entre ce point et le point rouge est uniforme entre 0 et (je ne crois pas qu'il y ait du paradoxe de Bertrand là-dessous, mais je peux me tromper)

[yat]

pour moi il n'y a pas d'axe de rotation de la sphère,

Au temps pour moi... mais comme tu commences ta solution par "la boule a roulé une durée aléatoire", ça prète un peu à confusion. Continuons donc.

peut-être que la surface était rugueuse et que la sphère a rebondi un certain nombre de fois de façon erratique, etc. Je sais juste que la sphère repose sur un point quelconque et uniforme de sa surface

Jusque là on est donc complêtement d'accord, mais

et je dis que l'arc entre ce point et le point rouge est uniforme entre 0 et (je ne crois pas qu'il y ait du paradoxe de Bertrand là-dessous, mais je peux me tromper)

Ca c'est faux. Et effectivement, ça ressemble à du paradoxe de Bertrand... tu fais ton tirage aléatoire du point rouge en considérant que l'angle entre le point de contact et le point rouge est uniforme. Si la répartition est aléatoire sur la surface (comme quand on lance un dé, et ce n'est qu'une autre méthode pour le tirage aléatoire), cette propriété est fausse. Comme dans le paradoxe de Bertrand, on obtient des résultats différents en changeant la méthode de tirage. Tu peux t'en rendre compte en faisant le calcul (qui donne tout simplement que la probabilité que la hauteur du point rouge soit inférieuré à 3 est de 3/10), et en comparant avec ta méthode, ou plus simplement en visualisant quelque chose d'évident : si la répartition de l'angle entre le point de contact et la surface était homogène, le point aurait autant de chances de tomber dans une des deux calotes d'angle pi/4 que dans tout le reste de la sphère.

[yat]

Si on ne part pas dans des considérations de trajectoire et de manière de lancer le dé, on peut considérer que la position du point rouge est distribuée uniformément sur la surface de la sphère.

Concrètement, la probabilité que le point apparaisse dans une zone donnée est proportionelle à la surface de cette zone.

Ce qui donne, pour la question posée, une probabilité que H soit inférieur à 3 égale au rapport entre la surface de la calotte sphérique de hauteur 3 et la surface de la sphère.

EDIT : Grillé.....

[invitea3eb043e]

Le point rouge est situé sur la sphère, comme tu dis et pas dans le volume. Si tu t'intéresses aux points dont la hauteur est inférieure à h, ils sont sur une calotte sphérique et la probabilité d'y trouver le point rouge est proportionnelle à la surface de cette calotte.
Tu calcules donc cette surface et non le volume.

[invite9f74ae56]

La trajectoire du point rouge n'est pas forcémént une cycloide, meme si la trajectoire de la boule est rectiligne, on peut tres bien imaginer la boule avoir une trajectoire rectiligne en meme temps qu avoir un mouvement rotatif sur elle meme (style une toupie) et la la trajectoire du point rouge ressemble plus a un cheveu frisé qu a une cycloide.
Moi je pense qu on se moque de la trajectoire et que l'exo revient a calculer la probabilité de choisir un point au hasard (c'est a dire suivant une loi uniforme sur la sphere) de hauteur inferieur a trois, et si on sait calculer la surface de la sphere avec des integrales triples je pense qu on doit savoir faire ca...

[invitec619acd1]

Je ne pense pas que ce soit utile d'intégrer par des intégrales triples étant donné que tu vas aboutir au volume. Or ,tu ne sait pas si le volume est proportionnel à la surface de la sphère où se déplace le point rouge. En outre, tu dois seulement calculer la surface , et comme tu l'as dit, grâce à une hauteur.

[invite35452583]

Bonjour,
aucun renseignement n'est donné de manière précise sur le lancer de la boule : celle-ci peut avoir être lancé avec rotation, peut rebondir sur le plan horizontal ( )... Donc, chercher la solution par cette voie est infaisable.
Rien n'est dit non plus sur la répartition en terme de probabilité sur l'emplacement du point rouge sur la sphère. Néanmoins, une hypothèse raisonnable est de considérer celle-ci comme homogène, d'où répartition uniforme en fonction de la surface considérée.

Avec ces deux hypothèses, le problème devient résoluble. En effet, il suffit de se reporter à la situation de départ.
La probabilité P que le point rouge soit à une hauteur inférieure à 3 est égale à la probabilité qu'il soit sur la partie S de la surface de la sphère comprise en dessous de h=3. Or, il est plus que raisonnable de supposer que :
1) le point rouge n'a pas bougé relativement à la sphère,
2) la sphère n'a pas été déformée intrinsèquement pendant le lancer (ni du fait des rebonds, ni des rotations, ni des chocs sur des bords...)
3) la probabilité que le point rouge se trouve sur telle ou telle zone de la sphère considérée intrinsèquement (indépendamment de sa situation dans l'espace) reste invariant pendant le lancer.
La probabilité recherchée P est alors égale à celle que le point rouge se trouve sur la zone S' de la sphère en position initiale (avant le lancer) correspondante à S. Or, la probabilité que le point rouge soit sur cette zone est égale à aire(S')/aire de la sphère. Et aire de S'=aire de S=aire d'une calotte sphérique correctement définie (cf. posts précédents)

Correspondance surface de la sphère-surface du cylindre
On se place sur un équateur vertical de la sphère. (On peut donc faire un dessin dans le plan toujours plus aisé)
On fait correspondre une zone de hauteur dh située à une hauteur h.
La surface du cylindre est égale à (2piR)xdh
La surface correspondante de la sphère a un rayon ègal à Rsin(x) où x est l'angle formé avec la verticale.
Quelle est la longueur infinitésimale dl correspondant à dh sur la sphère ? La tangente à l'équateur est perpendiculaire au rayon. Sur un dessin dans le plan on voit facilement que dlcos(pi/2-x)=dlsin(x)=dh.
Bref si R' est le rayon du cercle de la sphère situé à une hauteur h on a R'/R=dh/dl et R'dl=Rdh.
Le lien entre surface du cylindre-surface de la sphère est ainsi établi.

1er Paris :
0,3 fois on gagne 3 fois la mise (on ne gagne pas sa mise : si on a misé 100 euros en cas de victoire on a 300 euros de plus pas 400)
0,7 fois on perd une fois la mise (en cas de défaite on perd 100 euros)
3x0,3-0,7=0,2 (le jeu est intéressant)
2ème haut :
0,7 fois on gagne 1/3 de la mise
0,3 fois on perd la mise
0,7x1/3-0,3=-1/15 (là il ne faut pas jouer)
Ah on ne joue pas, c'est de la physique-chimie (c'est moins drôle alors )