Equation complexe et polynome :)

[etienne3000]

Bonjour à tous!!!

Bon voila il y a un la un exercice qui me fait un peu des miseres, je vous donne l'ennoncé et je vous dit ce qui me dérange :s

1) Pour a appartenant à ]-pi,pi[ -{-pi/2,pi/2}, résoudre:
(z+i)/(z-i)=e^(ia) z appartenant à C (discuter et donner la solution sous une forme simple)

La je sais pas comment donner UNE solution sous forme simple... Par désespoire j'ai tout mis en module, pour avoir un rapport de module egal à 1 mais ca sert à rien j'arrive pas à trouver une solution simple...


Pour la suite, on nous demande de trouver le nombre de racine distincte ou confondu du polynome suivant dans le corps C:

Pn=(X+i)^(2n+1) - (X-i)^(2n+1)

et d'en trouver les zéros. et la j'y verrais peut etre mieux si j'avais fait la résolution de l'equation précédente :s


(l'exercice est assez long, en fait au final, on cherchera à établir un encadrement de la somme de (1/(k^2)) k variant de 1 à n, à fin d'en établir la limite exact, mais je pourais pas avancer si vous me donnez pas un petit coup de pousse pour le début

Merci de votre précieuse aide!!
bizz

Etienne3000

[Ledescat]

Ouch, mauvais souvenir pour moi que cette suite^^
Je sais qu'on avait à étudier une sorte de binôme de newton batard avec des sinus à foison, tout ça pour montrer que celà tend vers pi²/6 ...
Je réfléchis déjà à ta premiere question pour voir si j'arrive à qqchose.

[etienne3000]

Ben, en fait le debut de l'exo la qui me gêne, après quand ils commencent à nous demander de démontrer certains encadrement, je suis plus à l'aise, mais la plupart des question nécessite d'avoir préalablement traiter ce polynome

[rvz]

salut,

Sauf erreur, tu multiplies l'équation par (z-i) et tu écris ça sous la forme az = b, avec a complexe dont tu vérifies qu'il est non nul, et paf z = b/a.

Ensuite, une racine z de ton polynôme vérifie ((z+i)/(z-i))^(2N+1) = 1, donc tu te ramènes à la question précédente. Tu en déduis toutes les racines, et enfin tu fais joujou avec les fonctions symétriques des racines.

Tu verras, ce n'est pas si moche que ça.

__
rvz

[etienne3000]

Oui pour l'équation, je suis stupide je l'ai vu après, c'était vraiment simple (je cherchais trop compliqué )

Mais pour les racines du polynome je sais pas comment faire, j'ai pas trop la méthode pour le faire..si quelqu'un pouvait m'aider ...parceque j'ai résolu des z^(n)=Z
mais avec un quotient à la place de z, je vois pas trop comment m'y prenddre

[etienne3000]

en fait en faisant ca classiquement je trouve

(x+i)/(x-i)=e^((2k+1)pi/(2n+1))
mais c'est pas fini :s, je vois pas comment finir la résolution

[Ledescat]

en fait si je ne m'abuse tu arrives à quelque chose du genre: z=-i* (1+exp(ia))/(1-exp(ia))

factorise ta fraction en haut par exp(ia/2) et en bas de même
tu verras apparaître des cosinus et sinus

[etienne3000]

oui exact, je trouve z=cos(a)/sin(a)=cotan(a)

mais je sais pas comment me servir de ca pour déduire les solutions du polynome :s (cad du quotien^(2n+1)=1)

[Ledescat]

euh moi je crois que je trouve z= i*cotan(a/2)

[etienne3000]

euh cotan(a/2) je suis d'accord (ya plus de i, il s'annule avec celui de -2i sin(a/2) du denominateur.



Donc j'ai z ce qui fait que je peux facilement trouver les 0 du polynome, mais la après, ils me demandent de transformer Pn (voire ennoncé plus haut) en Pn=2i* (somme j=0 à n de)((-1)^j * X^(2(n-j)) * ((2j+1) parmi (2n+1)

et la c'est la galere

[Ledescat]

oui suis-je bête
sinon j'avais eu quelque chose de similaire comme somme à étudier....c'est la galère.

[Ksilver]

Salut !

il s'agit juste de la formule du binome utilisé sur chacun des termes de l'expression de Pn (a+b)^n = ...


cela te donne l'expression des coéficient de Pn, ce qui te permetra ensuite de connaitre par exemple, la somme des racines de Pn... et tous cela te permetra d'encadrer la somme des 1/n²...

[etienne3000]

oui j'ai réussi à l'établir, il sufisait en effet d'appliquer la formule du binome et de bidouiller un peu dans la somme
merki