Méthode des rectangles: majoration de l'erreur

[Ledescat]

Bonsoir tout le monde, j'aurais besoin de votre aide pour une majoration de l'erreur du calcul d'une intégrale par méthode des rectangles.
Pour celà, je note implicitement S[ ]=somme pour k variant de 1 à (n-1)
et ai= a+i.(b-a)/n

Donc j'ai:

| int(f(x).dx,a,b)- (b-a)/n.S[f(ai)] |
= | S[ int(f(x) - f(ai) dx,ai,ai+1) ] |
=< S[ | int(f(x)-f(ai) dx , ai,ai+1) | ]
et par le TAF, il existe c dans [ai;ai+1] tq f(x)-f(ai)=(x-ai).f'(c)
Dont on majore le tout par M=supf' sur [a;b]

=< M. S[ int(x-ai dx, ai,ai+1) ]

et là mon prof passe directement à: ***

= 1/2.M. S [(b-a)²/n²]
=M.(b-a)²/2n

D'où l'erreur en 1/n... mais je ne comprend pas trop le passage des ***
car pour moi (5-4)²+(4-3)²+(3-2)² =/= (5-2)² !!!
Enfin, je ne sais trop que penser, je pense que c'est élémentaire, mais une petite aide me serait bien utile.

J'aurais une dernière question:
Si P est le polynôme d'interpolation de Lagrange de f passant par (a0,..,an)
On a une formule du genre:
f(x)-P(x)= (x-a0)..(x-an)/(n+1)! . f(n+1) (c)
avec f(n+1) la dérivée (n+1)ème de f.
Pourriez vous me corrgier cette formule si elle est fausse, et surtout, pourriez-vous m'en donner son nom?

Merci beaucoup pour votre aide! bonne soirée.

[Ledescat]

Ah ben j'ai posé ma question trop vite!
Je viens de trouver je pense:
On trouve qu'il faut évaluer 1/2(x-ai) entre ai et ai+1, on trouve donc 1/2(ai+1-ai)²= 1/2 [(b-a)/n]²
Euréka
Parcontre ma question 2 tient toujours hihi!

[Ledescat]

Oups il faut évaluer évaluer 1/2(x-ai)²

[Ledescat]

Quelqu'un pour ma seconde question?

[edpiste]

La formule est correcte. Elle n'a pas de nom particulier (sauf pour le cas n=0 bien sûr).

[Ledescat]

Merci !
Mais quelque chose me chifonne un peu, si la formule est correcte, on a donc
f(x)=P(x) + (x-a0)..(x-an)/(n+1)! . f(n+1) (c)

Qui est donc un polynome!
Est-ce un "à peu près égal" ou manque-t-il un petit o ou bien n'ai-je rien compris?

[edpiste]

attention le c est un c(x)...
l'égalité est donc exacte. Pour mieux comprendre, refais la démonstration.

[Ledescat]

D'accord! je comprend mieux maintenant.En revanche je ne sais pas le démontrer, comment peut-on s'y prendre?

[edpiste]

Ressors Internet Explorer des bas-fonds de ton ordinateur et pointe-le sur

http://lamfa.u-picardie.fr/dupaigne/...age25chap1.xml

[etoilenord]

le lien ne fonctionne pas!!!!!!!!!!!