[Algèbre linéaire] Matrices nilpotents

indian58 · 18/02/2007 - 15h37

Bonjour à tous,
voici un petit exercice que je soumets à votre sagacité.

Quelle est l'espace engendré par les matrices nilpotentes de M_n(R)??

Bon courage.

homotopie · 18/02/2007 - 23h55

Envoyé par indian58

Bonjour à tous,
voici un petit exercice que je soumets à votre sagacité.

Quelle est l'espace engendré par les matrices nilpotentes de M_n(R)??

Bon courage.

Bonsoir,

sans trop réfléchir $M_n (R)$

martini_bird · 19/02/2007 - 09h39

Salut,

peut-être $\rm{M}_n(\mathbb{R})\setminus \rm{GL}_n(\mathbb{R})$ ?

Cordialement.

rvz · 19/02/2007 - 10h12

Salut,

Non, non Martini.

Essaye
0 1
0 0 et additionne avec sa transposée...

__
rvz

martini_bird · 19/02/2007 - 10h18

Envoyé par rvz

Salut,

Non, non Martini.

Essaye
0 1
0 0 et additionne avec sa transposée...

__
rvz

Ah zut, on parle de la structure additive ?

J'avais compris l'énoncé au sens multiplicatif...

rvz · 19/02/2007 - 10h52

Ah ba c'est vrai, je sais pas trop en fait.

Si c'est pour la structure multiplicative, il est assez clair qu'on doit avoir que det = 0 pour toute matrice engendrée par des nilpotentes, et en fait, je me demande même si on peut trouver des endomorphismes ayant une valeur propre non nulle de cette manière...

__
rvz

GuYem · 19/02/2007 - 13h37

En comprenant l'exercice au sens additif (sous espace vectoriel engendrés par les nilpotentes), je dirais les matrices de trace nulles.

homotopie · 19/02/2007 - 16h45

Envoyé par GuYem

En comprenant l'exercice au sens additif (sous espace vectoriel engendrés par les nilpotentes), je dirais les matrices de trace nulles.

En effet (je pense en tout cas) :
trace =>ker est un sous-espace de codimension 1 contenant toutes les nilpotentes.

Les matrices avec un unique 1 hors diagonale->n(n-1) matrices trivialement indépendantes
+ les n-1 avec "1" en indices (1,1) et (1,i) "-1" indices (i,i) et (i,1) complètent une famille libre de rang n²-1 de matrices nilpotentes.

indian58 · 20/02/2007 - 09h24

Envoyé par GuYem

En comprenant l'exercice au sens additif (sous espace vectoriel engendrés par les nilpotentes).

C'est effectivement au sens additif qu'il faut entendre l'exercice.

indian58 · 20/02/2007 - 09h27

Envoyé par homotopie

En effet (je pense en tout cas) :
trace =>ker est un sous-espace de codimension 1 contenant toutes les nilpotentes.

Les matrices avec un unique 1 hors diagonale->n(n-1) matrices trivialement indépendantes
+ les n-1 avec "1" en indices (1,1) et (1,i) "-1" indices (i,i) et (i,1) complètent une famille libre de rang n²-1 de matrices nilpotentes.

Effectivement, c'es une démonstration possible.