Problème avec une série alternée

Pierre24 · 19/02/2007 - 18h51

Bonour, j'ai un problème avec une série alternée.
Je dois montrer la convergence de la série de terme génral Un=cos(Pi n² ln(1-1/n))

Voilà, je fais un DL et je trouve un équivalent :
(-1)^(n+1) Pi/3n + (-1)^(n+1) Pi/4n²

Pourriez vous m'expliquez clairement comment conclure, faudrait que je trouve une suite qui aurait un équivalent positif pour pouvoir conclure mais le DL ne l'a pas permis ?? Comment faire, merci d'avance.

Pierre24 · 19/02/2007 - 19h29

svp..............

chwebij · 19/02/2007 - 19h54

je me suis trompé désolé...

Pierre24 · 19/02/2007 - 20h12

Auriez vous une réponse ?

MMu · 19/02/2007 - 20h14

Envoyé par Pierre24

Bonour, j'ai un problème avec une série alternée.
Je dois montrer la convergence de la série de terme génral Un=cos(Pi n² ln(1-1/n))

Voilà, je fais un DL et je trouve un équivalent :
(-1)^(n+1) Pi/3n + (-1)^(n+1) Pi/4n²

.

Pour une série convergeante le terme général converge vers 0 .
Ce n'est pas le cas ici !!

Pierre24 · 19/02/2007 - 20h30

Euh, la série est alternée...non non elle converge bien

MMu · 19/02/2007 - 21h18

Envoyé par Pierre24

Euh, la série est alternée...non non elle converge bien

Si tu veux persister dans l'erreur, libre à toi !!

chwebij · 19/02/2007 - 21h47

pour moi aussi le terme general tend vers 0, si tu n'es pas d'accord avec nous Mmu, il serait préférable que tu nous indiques tes calculs pour qu'on s'en convaint!

Calvert · 19/02/2007 - 22h22

Bonjour!

A mon avis, le terme général de cette série ne tend pas vers 0.

On cherche:

$\lim_{n\rightarrow\infty}n^2\l (1 - \frac{1}{n}) = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac {\l(1 - \frac{1}{n})}{n^{-2}}$

On pose m = 1/n:

$\lim_{m\rightarrow 0}\frac{\l(1 - m)}{m^2}$

Et on applique l'Hospitale:

$\lim_{m\rightarrow 0}\frac{-\frac{1}{1-m}}{2m}=\lim_{m\rightarrow 0} -\frac{1}{2m(1-m)}$

qui diverge.

Donc si je fais une erreur quelque part, n'hésitez pas à la signaler!

MMu · 19/02/2007 - 22h50

Envoyé par chwebij

pour moi aussi le terme general tend vers 0, si tu n'es pas d'accord avec nous Mmu, il serait préférable que tu nous indiques tes calculs pour qu'on s'en convaint!

Mea culpa, MMu a droit à tous vos quolibets ..

Dans l'équivalent donné par Pierre j'ai cru voir (-1)(n+1) Pi/3n + .., au lieu de (-1)^(n+1) Pi/3n +..

La série est bien convergeante ...

MMu · 20/02/2007 - 00h10

Envoyé par Calvert

Donc si je fais une erreur quelque part, n'hésitez pas à la signaler!

La suite $n^2\ln (1-\frac 1n)$ diverge en effet mais elle est de la forme $-n - \frac 12 - \frac 1{3n} -\frac 1{4n^2}-..-\frac 1{(m+2)n^m}-..$
Il s'ensuit $U_n=(-1)^{n+1}\sin (\frac{\pi}{3n}+\frac {a_n}{n^2})$ avec $a_n$ bornée
Une DL du sinus donne finalement $U_n=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3n} +\frac{b_n}{n^2}$ avec $b_n$ bornée
La convergence de $\sum U_n$ s'ensuit .. (j'espère que j'ai tout vu !

)

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