[Algèbre]Un joli défi

[indian58]

Bonjour à tous,

voilà un nouvel exercice que je soumets à votre sagacité mais celui-ci est plus dur.

Soit G un groupe fini tel que Aut(G) soit cyclique. Montrer que G est abélien.

[Taar]

Trouvé ! Qu'est-ce qu'on gagne ?

Trêve de bla bla, très sympa cet exercice, j'aime bien les démos où on se sert deux fois de la même chose.

Spoiler :

Int(G) est cyclique !

Taar

[Seirios]

Le sujet date un peu, mais je mets tout de même ma solution :

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Pour tout , notons . Alors est un morphisme de groupes, de noyau . Par conséquent, est monogène, puisque isomorphe à un sous-groupe du groupe supposé monogène. Alors tout élément de G s'écrit sous la forme avec un générateur de que l'on fixe et . Alors G est abélien.