triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

**xxxxxxxx** · 05/03/2007, 19h57

Bonjour,

Avec, je dois l'avouer une petite idée derrière la tête, j'ai été amené a étudier le théorème de Pythagore avec un oeil particulier.

J'ai d'abord trouvé empiriquement un lien entre les valeurs $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ des triplets pythagoriciens à partir d'une variable $\text{[math]}$ .

A cause de ma petite idée, j'ai tenté de trouver une condition qui devait porter sur cette variable $\text{[math]}$

Après des tatonnements et avec l'aide d'un autre forum j'ai affiné un énoncé général qui reste à démontrer

Voici cet énoncé :

On veut
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ entiers
si on ne retient que les cas où PGCD $\text{[math]}$ , c'est à dire qu'on ne retient pas les formules $\text{[math]}$

nota : on veut aussi trouver les triplets avec $\text{[math]}$

Pour $\text{[math]}$ impair

(on peut faire une présentation comparable pour $\text{[math]}$ pair mais elle est légèrement plus compliquée)

on pose $\text{[math]}$ impair tel que :

$\text{[math]}$
et
$\text{[math]}$ entier (cela permet de gagner du temps dans le traitement des données)

On défini $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$

soit $\text{[math]}$

les valeurs de $\text{[math]}$ à utiliser pour que $\text{[math]}$ soit entier seront telles que :
$\text{[math]}$ soit un entier (remarque : si $\text{[math]}$ entier, $\text{[math]}$ sera pair)
et
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ doivent être premiers entre eux quand $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ sera alors un entier tel que $\text{[math]}$

exemple :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

valeurs possibles de
$\text{[math]}$ ... $\text{[math]}$
1 ....1... $\text{[math]}$ entier
3 ....9
5 ...25
7 ..49 ... $\text{[math]}$ entier
9 ...81
11. 121
13 .169

on teste les 2 valeurs de x pour $\text{[math]}$

pour $\text{[math]}$ entier, on trouve $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

on reporte les valeurs de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ sera entier pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (il ne le sera pas pour les autres valeurs de $\text{[math]}$ )
Attention : ce test est important car même si B/x entier on aura pas nécessairement un triplet pythagoricien

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

on aura immédiatement $\text{[math]}$

autrement dit et pour résumer :

$\text{[math]}$ impair (on peut faire une présentation très proche pour B pair)

$\text{[math]}$ impair tel que

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ entier

si $\text{[math]}$ entier, et, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ premiers entre eux.

je sais immédiatement définir $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ entiers en fonction de la variable $\text{[math]}$

On peut alors (sous réserve de démonstration), chercher de manière ordonnée tous les triplets pythagoriciens pour tout $\text{[math]}$ impair.

Dès qu'elle est mise au format Latex je poste une proposition de démonstration pour laquelle j'aimerais qu'on me dise si elle est juste ou fausse

invite0387e752 · 05/03/2007, 22h28

tu es a quel niveau ? prépa / licence ?
je sais pas si tu as fait spé maths en Tale mais jai du bcp travaille dessus, au cas ou ... sinon je jetterai un coup d oeil

**xxxxxxxx** · 06/03/2007, 00h22

Pour les maths je n'ai qu'un vieux Bac E qui date de 1985, sinon j'ai une licence Administration Economique et Social mais qui ne m'a pas apporté grand chose pour les maths.

Mais pour faire ma demande de validation de ma démonstration j'ai pensé que cette partie du forum était la plus adéquate. Je vais tacher de la mettre en ligne avant demain soir (je débute avec le Latex)

Elle est déjà sur un autre site, tu peux la trouver avec google avec le titre du sujet : "triplets pythagoriciens demande de démonstration" mais pous l'instant là non plus elle n'est pas au format Latex

**Médiat** · 06/03/2007, 04h53

A partir du moment où tu imposes une relation entre A et B, je ne vois pas comment tu peux affirmer que ta méthode permet de trouver tous les triplets pythagoriciens. Je ne dis pas que c'est faux, je dis juste que ce n'est pas démontré.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Médiat** · 06/03/2007, 06h28

Pour info, que reproches-tu à la méthode (p²-q², 2pq, p²+q²), qui donne tous les triplets pythagoriciens ?

**xxxxxxxx** · 06/03/2007, 07h10

Envoyé par Médiat

Pour info, que reproches-tu à la méthode (p²-q², 2pq, p²+q²), qui donne tous les triplets pythagoriciens ?

Elle marche très bien mais n'est pas applicable avec des nombres ordinaux car dans ce cas la soustraction n'est pas définie.
C'est une approche légèrement différente de l'espace (qui heureusement retombe sur notre réalité concrète pour ce que j'ai pu en appréhender) de celle qui est communément admise qui m'a conduit directement sur cette application ainsi qu'à découvrir entre autres la notion d'ordinal.

**xxxxxxxx** · 06/03/2007, 08h17

Voici la démonstration à valider ou invalider. Merci d'avance pour vos réponses

$\text{[math]}$ impair et $\text{[math]}$ impair on montre facilement $\text{[math]}$ pair si $\text{[math]}$ entier

soit $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
____________

si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ non premiers entre eux pour $\text{[math]}$
il existe $\text{[math]}$ tel que :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

alors
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne seront pas premiers entre eux, ils seront des multiples de $\text{[math]}$

_________

Sous réserve de validation de cette démonstration :

On pourra noter que cette approche permet d'associer le théorème de Pythagore avec les nombres ordinaux du plan :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

de plus si x et y réels quelconques, on pourra se limiter aux opérations définies pour les nombres ordinaux et avoir $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ vérifiant la relation $\text{[math]}$

**xxxxxxxx** · 06/03/2007, 10h19

Oups j'ai fini par dire une bêtise

Envoyé par xxxxxxxx

Sous réserve de validation de cette démonstration :

On pourra noter que cette approche permet d'associer le théorème de Pythagore avec les nombres ordinaux du plan :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

de plus si x et y réels quelconques, on pourra se limiter aux opérations définies pour les nombres ordinaux et avoir $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ vérifiant la relation $\text{[math]}$

ça ne vaut que pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ réels positfs

invite986312212 · 06/03/2007, 10h50

bon, pour x=1 ok. Mais je ne saisis pas trop l'intérêt de la notion de triplet pythagoricien en réels.

**xxxxxxxx** · 06/03/2007, 15h31

Envoyé par ambrosio

bon, pour x=1 ok. Mais je ne saisis pas trop l'intérêt de la notion de triplet pythagoricien en réels.

Je me suis sans doute mal exprimé pardon...

En choisisant deux réels positifs $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ quelconques ( $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ par exemple)
on va obtenir des valeurs réelles pour $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ qui vérifieront $\text{[math]}$

C'est une autre formulation de $\text{[math]}$ qui ne fait pas appel à la soustraction

P.S. : si quelqu'un avait la bonté de me dire si la démonstration est juste ou fausse, je lui en serait très reconnnaissant

**invite4793db90** · 06/03/2007, 15h56

Salut,

les solutions (A, B, C) que tu donnent pour l'équation $\text{[math]}$ correspondent exactement aux solutions classiques $\text{[math]}$ avec le changement de variables p=x+y et q=y.

Cordialement.

**leg** · 07/03/2007, 08h59

bonjour

Envoyé par xxxxxxxx

C'est une autre formulation de $\text{[math]}$ qui ne fait pas appel à la soustraction

quel est le but recherché stp ,
de trouver un triplet pythagoricien d'entiers naturels non nul , autre que ceux qui sont donné par (p^2-q^2,2pq,p^2+q^2) ?
car le fait de reformuler la nature des triplets ne change en rien le fait, que ces triplets seront toujours donné par la même formule avec p et q entiers positifs et premiers entre eux
et la soustraction est trés utile..

**leg** · 07/03/2007, 13h04

Envoyé par xxxxxxxx

Voici la démonstration à valider ou invalider. Merci d'avance pour vos réponses

de plus si x et y réels quelconques, on pourra se limiter aux opérations définies pour les nombres ordinaux et avoir $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ vérifiant la relation $\text{[math]}$

je pense que tu ne peux généraliser car x et y sont fonction de p et q et non pas l'inverse!
pour tout couple p et q tel que p²-q²,2pq et p²+q² il existe au moins un couple x et y réels mais pas quelconques exemple P = sqrt9 et q =sqrt2 il existe x et y réels
le triplet n'est pas pythagoricien avec A, B et C entier naturels: B²=49, C²=121, A² = 72 donc A n'est pas un entier.
non?

invite6e9fede7 · 26/09/2007, 03h09

je cherche une méthode pour construire un triplet pythagoricien en connaissant

2n =a2 + b2 - c2

je précise en ne connaissant que 2n

quelqu'un a t il des lumières sur le sujet

**Médiat** · 26/09/2007, 17h17

Envoyé par leonlapin

je cherche une méthode pour construire un triplet pythagoricien en connaissant
2n =a2 + b2 - c2
je précise en ne connaissant que 2n

Est-ce que tu cherches une solution ou toutes les solutions pour un n donné ?

**Médiat** · 27/09/2007, 14h39

Envoyé par leonlapin

quelqu'un a t il des lumières sur le sujet

Tu t'intéresses encore au sujet, ou je suis le seul à m'y intéresser ?

**xxxxxxxx** · 03/10/2007, 03h50

Salut

pour moi pour un triplet pythagoricien
$\text{[math]}$ ² $\text{[math]}$ ² $\text{[math]}$ ² $\text{[math]}$
mais bon je suis pas à l'abri d'une erreur

**xxxxxxxx** · 06/03/2007, 06h49

Envoyé par Médiat

A partir du moment où tu imposes une relation entre A et B, je ne vois pas comment tu peux affirmer que ta méthode permet de trouver tous les triplets pythagoriciens. Je ne dis pas que c'est faux, je dis juste que ce n'est pas démontré.

Bonjour,

Effectivement, il est sans doute utile de démontrer que la relation entre $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ n'est pas le simple fait du hasard mais corespond bien à la relation $\text{[math]}$

J'ai un segment de longeur $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ impair et $\text{[math]}$ pair) exemple : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Je trace les carrés de coté $\text{[math]}$ , et de coté $\text{[math]}$ (je construis mon carré $\text{[math]}$ en prolongeant mes segments jusqu'aux cotés du carré $\text{[math]}$ )

J'obtiens en terme de mesure des surfaces :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Pour obtenir $\text{[math]}$
je pose

$\text{[math]}$

donc

$\text{[math]}$ (soit l'égalité entre la mesure de deux surfaces dont l'une sera un carré)

j'arrive à

$\text{[math]}$

( c'est cette valeur de b' que j'ai "mouliné" avec un programme pour trouver empiriquement que c'était systématiquement des valeurs telles que $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ impair pour les triplets pythagoriciens quand $\text{[math]}$ impair.)

Je remplace $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ pour retrouver $\text{[math]}$
cette formule me sert à trouver $\text{[math]}$ dans mon premier post :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Voilà qui répondra, correctement je l'espère, à ta question.

ps : je viens de trouver la balise TEX à la fin de la rédaction de ce post

invite986312212 · 06/03/2007, 08h41

Envoyé par xxxxxxxx

on pose $\text{[math]}$ impair tel que :

$\text{[math]}$
et
$\text{[math]}$ entier (cela permet de gagner du temps dans le traitement des données)

un tel $\text{[math]}$ n'existe pas nécessairement.

**xxxxxxxx** · 06/03/2007, 09h04

Envoyé par ambrosio

un tel $\text{[math]}$ n'existe pas nécessairement.

si : il existe toujours le cas $\text{[math]}$

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