une application qui pose problème

[Wahou]

Bonsoir a tous, voila mon problème

On a une application f continue vérifiant la condition "carré" :
pour tous x et y dans R, f(x+y)f(x-y)=[f(x)f(y)]² "carré"

Jusque là on a montré que
f(0)=1, 0 ou -1
f(0)=0 <=> f=application constante nulle
si f s'annule pour une valeur a, alors f est l'application constante nulle.
si f ne s'annulle en aucun point de R, f est de signe constant sur R

Il me reste à faire :
1)justifier que -f est également solution du problème "carré". ça me parait évident mais je ne vois pas comment le justifier

2)montrer que f est paire. j'ai essayé en exprimant f(x) en fonction de f(x+y), f(x-y) et f(y) mais ça n'a pas aboutit.

3)montrer que si g est une fonction continue vérifiant aussi la condition "carré" et si f(x) est équivalent a g(x) en + l'infini, alors f=g. Indication : on pourra considérer un y dans R fixé et faire tendre x vers + l'infini dans "carré".

4) on donne h(x)=ln(f(x)). donner la relation entre h(x+y), h(x-y), h(x) et h(y). bien sur il suffirait de metre des exponentielles partout mais ça na pas trop d'interet je trouve.

et puis pour la fin ça ira je pense. Celle qu'il m'interesse surtout c'est la 3, enfin les autres aussi mais surtout elle.
merci d'avance

[invite67423456789]

de jolies equations fonctionnelles
tas essayé de tripoter tout ca a laide d exponentielles ?

[Wahou]

Pour la 4 ? ba avec des expo ça donne la meme relation qu'au début sauf que la il y a les expo :
exp(h(x+y)).exp(h(x-y))=[exp(h(x)).exp(h(y))]²
ça me parait trop simple, je pense pas que ce soit ça qu'on attende mais au pire j'ai tjr ça a mettre...mais l'interet est assez limité

[Ledescat]

Pour montrer qu'elle est paire,prend x=0 et n'oublie pas les valeurs possibles de f(0)

[ericcc]

Pour la 4 ? ba avec des expo ça donne la meme relation qu'au début sauf que la il y a les expo :
exp(h(x+y)).exp(h(x-y))=[exp(h(x)).exp(h(y))]²
ça me parait trop simple, je pense pas que ce soit ça qu'on attende mais au pire j'ai tjr ça a mettre...mais l'interet est assez limité

En fait tu dois prendre le ln de la relation "carré" qui va te donner une relation simple sur h(x).

[Wahou]

ok ça marche, merci