dérivée d'intégrale

HighSchool2005 · 21/03/2007 - 08h58

Bonjour,

Montrer que f est définie et dérivable sur R. Calculer f' et en déduire f.

$f(x) = \int_{0}^{+\infty}{ \frac{arctan(tx)}{t (1+t^2}} \, dt$

Je n'ai aucune idée. J'aimerais vraiment que quelqu'un m'aide, me mettre sur la voie.
Merci à tous d'avance pour votre contribution.

GuYem · 21/03/2007 - 10h19

Salut, il y a des théorèmes qui permettent de faire entrer la dérivation (en x ici) sous le signe intégral.

HighSchool2005 · 21/03/2007 - 12h02

en fait, c'est très paradoxal car dans mon cours, on ne parle que d'intégration. On parle de dérivabilité, de Lebesgue et de la formule de Leibniz à la fin du cours que je ne suis pas sensée encore avoir vue.
N'y a-t-il pas un autre moyen ?
Comment faire pour prouver qu'elle est définie sur R puisqu'on ne peut pas calculer l'intégrale ?

GuYem · 21/03/2007 - 12h23

Pour montrer que f est définie sur R, il faut montrer que l'intégrale considérée converge pour toute valeur de x.

ericcc · 21/03/2007 - 14h41

Pour prouver que l'intégrale existe, il te suffit de majorer la fonction à intégrer par une fonction dont l'intégrale converge.
Ensuite tu as un théorème qui te dit si tu as le droit de dériver sous l'intégrale. Ensuite c'est facile, normalement...

HighSchool2005 · 22/03/2007 - 09h13

Je trouve f(x) = 0 tout à la fin !!

Je mets un peu le détail de ce que j'ai fait

$|arctan(tx)|<=|t|$ pour tout t et tout x dans R
donc
$|f(x)| <= \frac{|tx|}{|t(1+t^2)|} <= \frac{|x|}{|1+t^2|}$
et $\frac{x}{1+t^2}$ est Lebesgue intégrable :
$\int_{0}^{+\infty}{\frac{|x|}{ |1+t^2|}} \, dt = |x| \Pi/2$

donc f(x) est Lebesgue intégrable donc elle est définie pour tout x de R.

$f_x(t) = |\frac{arctan(tx)}{t(1+t^2}| <=\frac{|x|}{|1+t^2|} = g(t)$ avec g Lebesgue intégrable (est-ce que c'est un problème que g dépende de x ?)

$x \rightarrow \frac{arctan(tx)}{t(1+t^2}$ est dérivable et $\frac{df}{dx} (x,t) = \frac{1}{(1+t^2)(1+t^2 x^2)}$ sur R
donc on peut faire passer la dérivée sous l'intégrale et on obtient :
$\frac{d}{dx} \int_{0}^{+\infty}{\frac{arcta n(tx)}{t(1+t^2} \, dt} = \int_{0}^{+\infty}{\frac{d}{dx }\frac{arctan(tx)}{t(1+t^2} \, dt } = \int_{0}^{+\infty}{\frac{1}{(1 +t^2)(1+t^2 x^2)} \, dt } = \int_{0}^{+\infty}{\frac{1}{(1 +t^2)(1-x^2)}+\frac{x^2}{(1-x^2)(1+t^2 x^2)}} \, dt = \frac{\Pi/2}{1-x^2} - 0 + \frac{\Pi/2}{x^2-1} - 0 = 0$

ericcc · 22/03/2007 - 10h48

Une petite erreur de signe : quand on intègre une fonction >0, le résultat ne peut être nul !

Taar · 22/03/2007 - 12h44

Salut.

Envoyé par HighSchool2005

Je trouve f(x) = 0 tout à la fin !!

Euh, ce serait pas plutôt f'(x) ?

Envoyé par HighSchool2005

donc on peut faire passer la dérivée sous l'intégrale

C'est ok, mais n'oublie pas d'écrire la condition de domination de $\frac{\part f}{\part x}$ par une fonction intégrable de t.

Envoyé par HighSchool2005

$\int_{0}^{+\infty}\frac{x^2}{( 1-x^2)(1+t^2 x^2)} \, dt = \frac{\Pi/2}{x^2-1}$

Là je vois pas trop. En plus du problème évoqué par ericcc, il devrait rester un x au numérateur après le changement de variable, non ? (x dt=du)

HighSchool2005 · 22/03/2007 - 17h07

oui c'est bien f'(x) que je trouve à la fin

C'est ok, mais n'oublie pas d'écrire la condition de domination de par une fonction intégrable de t.

Quelle condition de domination ?

En effet, j'ai fait une erreur pour le changement de variable. Maintenant, je trouve

$\int_{0}^{+\infty}{\frac{x^2}{ (1-x^2)(1+t^2 x^2)}} \, dt$
$= \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty}{\frac{2 x^2}{(1-x^2)(1+t^2 x^2)}} \, dt$
$= \frac{1}{2 (1-x^2)} \int_{0}^{+\infty}{\frac{2 x^2}{(1+t^2 x^2)}} \, dt$
$= \frac{1}{2 (1-x^2)} \int_{0}^{+\infty}{\frac{- I x^2}{(t x - I)} + \frac{ I x^2}{(t x + I)}} \, dt$
$= \frac{x I}{2 (1-x^2)} \int_{0}^{+\infty}{\frac{- x}{(t x - I)} + \frac{x}{(t x + I)}} \, dt$
$= \frac{x I}{2 (1-x^2)} [(-ln(t x - I) + ln(t x + I))]_0^{+\infty}$
$= \frac{x I}{2 (1-x^2)} [ln(\frac{(t x + I)^2}{t^2 x^2 + 1 })]_0^{+\infty}$
$= 0$

Merci beaucoup pour vos remarques et votre participation

PS I est le complexe i

ericcc · 22/03/2007 - 17h50

A mon avis ce n'est toujours pas juste...

HighSchool2005 · 22/03/2007 - 18h53

je pense avoir trouvé le problème du signe. Dans ma décomposition en éléments simples, le dénominateur sous x^2 est $(x^2-1)(1+t^2 x^2)$
et en intégrant, je trouve comme primitive :
$x/(x^2-1) arctan(tx) + arctan(t)/(1-x^2)$
donc f'(t) = \Pi / [2(x+1)]

dérivée d'intégrale

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Re : dérivée d'intégrale

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