dérivée d'intégrale
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dérivée d'intégrale



  1. #1
    HighSchool2005

    dérivée d'intégrale


    ------

    Bonjour,

    Montrer que f est définie et dérivable sur R. Calculer f' et en déduire f.



    Je n'ai aucune idée. J'aimerais vraiment que quelqu'un m'aide, me mettre sur la voie.
    Merci à tous d'avance pour votre contribution.

    -----
    Dernière modification par benjy_star ; 21/03/2007 à 11h41. Motif: Tex

  2. #2
    GuYem

    Re : dérivée d'intégrale

    Salut, il y a des théorèmes qui permettent de faire entrer la dérivation (en x ici) sous le signe intégral.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  3. #3
    HighSchool2005

    Re : dérivée d'intégrale

    en fait, c'est très paradoxal car dans mon cours, on ne parle que d'intégration. On parle de dérivabilité, de Lebesgue et de la formule de Leibniz à la fin du cours que je ne suis pas sensée encore avoir vue.
    N'y a-t-il pas un autre moyen ?
    Comment faire pour prouver qu'elle est définie sur R puisqu'on ne peut pas calculer l'intégrale ?

  4. #4
    GuYem

    Re : dérivée d'intégrale

    Pour montrer que f est définie sur R, il faut montrer que l'intégrale considérée converge pour toute valeur de x.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ericcc

    Re : dérivée d'intégrale

    Pour prouver que l'intégrale existe, il te suffit de majorer la fonction à intégrer par une fonction dont l'intégrale converge.
    Ensuite tu as un théorème qui te dit si tu as le droit de dériver sous l'intégrale. Ensuite c'est facile, normalement...

  7. #6
    HighSchool2005

    Re : dérivée d'intégrale

    Je trouve f(x) = 0 tout à la fin !!

    Je mets un peu le détail de ce que j'ai fait

    pour tout t et tout x dans R
    donc

    et est Lebesgue intégrable :


    donc f(x) est Lebesgue intégrable donc elle est définie pour tout x de R.

    avec g Lebesgue intégrable (est-ce que c'est un problème que g dépende de x ?)

    est dérivable et sur R
    donc on peut faire passer la dérivée sous l'intégrale et on obtient :

  8. #7
    ericcc

    Re : dérivée d'intégrale

    Une petite erreur de signe : quand on intègre une fonction >0, le résultat ne peut être nul !

  9. #8
    invite9cf21bce

    Re : dérivée d'intégrale

    Salut.

    Citation Envoyé par HighSchool2005 Voir le message
    Je trouve f(x) = 0 tout à la fin !!
    Euh, ce serait pas plutôt f'(x) ?

    Citation Envoyé par HighSchool2005 Voir le message
    donc on peut faire passer la dérivée sous l'intégrale
    C'est ok, mais n'oublie pas d'écrire la condition de domination de par une fonction intégrable de t.

    Citation Envoyé par HighSchool2005 Voir le message
    Là je vois pas trop. En plus du problème évoqué par ericcc, il devrait rester un x au numérateur après le changement de variable, non ? (x dt=du)

  10. #9
    HighSchool2005

    Re : dérivée d'intégrale

    oui c'est bien f'(x) que je trouve à la fin

    C'est ok, mais n'oublie pas d'écrire la condition de domination de par une fonction intégrable de t.
    Quelle condition de domination ?

    En effet, j'ai fait une erreur pour le changement de variable. Maintenant, je trouve










    Merci beaucoup pour vos remarques et votre participation

    PS I est le complexe i

  11. #10
    ericcc

    Re : dérivée d'intégrale

    A mon avis ce n'est toujours pas juste...

  12. #11
    HighSchool2005

    Re : dérivée d'intégrale

    je pense avoir trouvé le problème du signe. Dans ma décomposition en éléments simples, le dénominateur sous x^2 est
    et en intégrant, je trouve comme primitive :

    donc f'(t) = \Pi / [2(x+1)]

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