Interversion symbole Somme - Intégrale

[Rouliane]

Bonjour ,

Je révise en ce moment l'interversion des symbole somme et intégrale, et il y a quelque chose que je ne comprends pas ...
Je me permets de vous joindre un excercice, et son corrigé :

Voici donc l'énoncé :

Montrer que int (0,1,1/(1+x)) = somme (0, +infini, (-1)ⁿ/(n+1) )

le corrigé :

Je passe l'étude préliminaire d'intégrabilité, etc....

On définit donc la fonction 1/(1+x) comme somme d'une série :

1/(1+x) = somme (0, +infini, (-1)ⁿxⁿ )

On pose ensuite S_n(x) = somme (0,n,(-1)ⁿxⁿ )

Et U_n(x) = (-1)ⁿxⁿ
La suite de l'exerxice consiste alors à étudier la suite de fonction S_n
J'arrive à montrer que S_n est intégrable, et converge simplement vers f , mais le problème vient au moment de l'hypothèse de domination :

Le corrigé dit alors (avant de procéder à la majoration de |S_n|:

On a S_n(x) = ( 1 - (-1)ⁿ⁺¹xⁿ⁺¹ ) / (x+1 )

Mais je ne comprends pas d'où vient cette formule !

Apparemment, cette formule traduit : S_n(x) = S(x) - U _n+1(x) ....

Si quelqu'un pouvait m'éclaircir sur ce problème, et surtout cette formule !

Merci à vous, en espérant que vous aurez compris mon charabia...

[Stephen]

C'est pourtant un classique : c'est simplement que pour , tu as l'égalité



Ici tu l'emploies avec bien sûr.

Pour la démontrer, tu as le choix : bête récurrence, ou bien remarquer que

et diviser de chaque côté par .

Comme tu t'en doutes, tu conclus l'exercice avec le théorème de convergence dominée.

[Rouliane]

Arf, je suis vraiment pas en forme ....
C'est tellement bete....
Merci beaucoup pour ta réponse

[Stephen]

Il m'arrive de caler sur des trucs plus bêtes encore quand je suis pas dedans

[Stephen]

Au fait : y'a une coquille, la somme part bien sûr de (si un modo passant par là pouvait corriger )

[Rouliane]

Oui, j'avais remarqué que t'avais fait une erreur de frappe pour la somme .... tu peux éditer ton post pour le modifier !
Arf, ça m'énerve quand je bloque sur des trucs pareil....
Merci encore ....je me suis pris la tete dessus pendant 1/2 heure en pensant qu'il y avait un lien avec les séries alternés, et le reste
R_n ....

Ps : comment fais-tu pour écrire les symboles somme et intégrale stp ?

[doryphore]

Tout est là pour l'écriture en Latex.
http://forums.futura-sciences.com/sh...6558#post96558

[Rouliane]

Tout est là pour l'écriture en Latex.
http://forums.futura-sciences.com/sh...6558#post96558

Merci beaucoup !
c'est quand même plus simple et plus lisible que la façon dont j'ai écrit dans mon premier post...