Matrices semblables

[invitec053041c]

Bonjour à tous.
J'aurais besoin de votre aide...
Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment vérifier que 2 matrices A et B sont semblables.
La définition qu'il existe une matrice inversible P tq je suis ok, mais si on nous donne A et B, à moins d'avoir un coup de chance du tonnerre pour trouver P et , je ne vois pas...
Bon déjà, je sais que s'ils n'ont pas le même déterminant et la même trace, c'est mort,mais après...

Par exemple, pouvez-vous me dire si ces 2 matrices sont semblables, et surtout, comment parvenez-vous à le voir?

A:
0,1,0
0,0,1
0,0,0


B:
0,-1,1
0,0,-1
0,0,0

Déjà elles ont même déterminant et même trace nuls...
Merci beaucoup!
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[Gpadide]

Dans ces cas la je reviens a la construction des vecteurs (de la meme maniere qu'on cherche les vecteurs propres) de la base qui est dans la matrice de passage. 2 matrices sont semblables si elles représentent le meme endomorphisme dans des bases différentes. Dans ton cas :
Note A = mat_B1 (u) et B = mat_B2 (u). Je raisonne donc par analyse synthese en supposant qu'il existe de telles bases B1 et B2. En donnant des noms aux vecteurs de ces bases, tu es ramené a un systeme que tu sais résoudre. S'il admet des solutions, c'est que les matrices sont semblables.

[Gpadide]

Par exemple, si tu supposes B1 = base canonique, tu constates que, dans la base B2 formée du premier vecteur de la base canonique, puis des vecteurs :
t(1,-1,1) et t(1,0,-1), la matrice de u est ta matrice B. (sauf erreur de ma part)

[invitec053041c]

Merci.
J'avais pensé à quelque chose comme ça, mais ça me ramènerait à 9 équations 9 inconnues??!
Et encore, il faudrait que j'inverse une matrice du type:
a,b,c
d,e,f
g,h,i

Ou alors j'ai rien compris

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec2adb611]

Bonjour,

tu n'as pas besoin d'inverser ta matrice inconnues.

Tu cherches P telle que :

[Gpadide]

La methode que je te propose ne fait pas intervenir de matrices, elle te fait déterminer les vecteurs un par un. Je te montre :
tu regardes la matrice B. La premiere colonne est la meme que pour A: tu peux donc prendre pour premier vecteur le premier vecteur (notons e1)de la base canonique.
Maintenant la 2eme colonne : tu cherches un vecteur x tel que u(x)=-e1. De la tu donnes des noms aux composantes de x et tu écris cette égalité matriciellement avec A cette fois Il est alors tres simple de choisir un vecteur qui convienne. Je te laisse faire la 3eme colonne !

[invitec053041c]

Oui merci beaucoup j'ai compris
J'ai e'3=e2-e3
De là je trouve facilement P et P^-1
Et synthèse: on vérifie que ça marche bien...

Seulement avec que des 0 et des 1 ça passe, mais j'ai l'impression que ça peut vite devenir casse tête!
Enfin c'est toujours mieux que de se coltiner un système 9_9.

[invitec053041c]

Bonsoir à tous.
J'ai des petits problèmes avec les matrices de passage, je ne sais jamsi dans quel sens les considérer....

Je suis dans un ev de dim finie.
J'ai une première base b,
et une deuxième base b'.
Alors la matrice de passage de b à b' est .
Si X représentent les coordonnées dans b, et X' celles dans B'.
Est-ce que j'ai X'=PX ou X=PX' ??

Merci beaucoup...

[Gpadide]

Ca se retrouve en revenant a la définition de la matrice de passage. Maintenant pour le retenir facilement, j'ai une méthode simple : tu prends la formule qui sonne bien : X'=PX. Bah c'est pas celle c'est l'autre !
L'autre formule importante est A'=P^(-1)AP

[invitec053041c]

Merci beaucoup pour cette patience