triagonalisation d'une matrice nilpotente

[Youseph]

Bonjour,

Je dois faire une démonstration, mais j'ai pas mal de doutes, il me semble qu'elle n'est pas très rigoureuse.

Soit V un espace vectoriel réel de dimension n et F appartient à End(V) un endomorphisme nilpotent. Montrez que sur R, F peut être représentée par une matrice triangulaire supérieure, dont la diagonale ne comporte que des zéros.

Voilà ma démonstration:

F est nilpotent, alors l'unique valeur propre de F est l=0 (déja démontré par induction en première partie d'exercice)

Le polynome caractéristique de A, PA(t), se décompose en facteurs linéaires réels, tel que PA(t) = (t-l1)...(t-ln), avec l1=...=ln=0.
Ai-je droit de dire que PA(t) se décompose en facteurs linéaires?

Comme PA(t) se décompose en facteurs linéaires réels, F est triagonalisble sur R. F peut dont être représentée par une matrice triangulaire supérieure B, tel que B= SAS^-1

Les éléments de la diagonale de B sont les valeurs propres de F, sa diagonale comporte donc que des éléments zéros.
Il me semble que c'est ainsi, mais existe t'il un thérorème qui puisse justifier cette affirmation?

Alors F peut être représentée par une matrice triangulaire supérieure, dont la diagonale ne comporte que des zéros.

Merci d'avance pour vos commentaires,

Damien