racine réelles d'un polynome

poinserré · 11/04/2007 - 17h52

bonjour tous le monde,

j'aurai besoin d'un coup de main pour l'exercice suivant :

Montrer par une étude de fonction que le nombre de racines réelles de X^3+ pX + q , p et q étant
deux réels donnés, dépend du signe du « discriminant »
4p^3+27q^2 .

Merci
Cordialement

invité576543 · 11/04/2007 - 18h05

Bonjour,

- Quels sont les nombres possibles de racine? 0, 1, 2, 3, 4?

- Quelle est la "forme" des fonctions pour les cas où le nombre de racines est maximal?

- Comment caractériser dans l'analyse de fonction la "forme" pour ces cas?

Cdlt,

poinserré · 11/04/2007 - 18h14

le polynome est d'ordre 3 doc il admet au plus 3 racines,cependant les autres question me paraissent un peu floues merci de m'éclairer

invité576543 · 11/04/2007 - 18h22

Envoyé par poinserré

le polynome est d'ordre 3 doc il admet au plus 3 racines,cependant les autres question me paraissent un peu floues merci de m'éclairer

Ca élimine 4. Est-ce qu'il peut y avoir 0 racine réelle? 1 racine? 2? 3?

La deuxième question revient à chercher à dessiner ces fonctions, classer les formes que l'on constate, voir le rapport entre la forme et le nombre de racines.

Cdlt,

poinserré · 11/04/2007 - 19h42

bonjour

une personne pourrait elle m'indiquer la méthode a suivre pou résoudre l'exercice , je ne sais pas par ou commencer

Merci
Cordialement

poinserré · 11/04/2007 - 20h04

peut-on utiliser une fonction f (fonction de x)associée au polynome p(x)=x^3+px+q et etudier la fonction f ?

Jeanpaul · 11/04/2007 - 20h05

Calcule la dérivée de la fonction : existe-t-il un minimum, un maximum ? Combien valent-ils ?
Regarde un peu et tu verras qu'il y a 3 racines si le minimum et le maximum ont des valeurs de signes opposés.

invité576543 · 11/04/2007 - 20h18

Ce qui est bien sur ce forum, c'est qu'on arrive toujours à ce que quelqu'un fasse l'exercice à sa place.

Cordialement,

poinserré · 11/04/2007 - 21h38

je trouve f'(x)=3x+p avec p réel mais comment savoir si cette dérivée admet un min ou un max ?

poinserré · 13/04/2007 - 19h13

bonsoir,

une personne pourrait elle m'éclairer

merci
cordialement

Jeanpaul · 13/04/2007 - 21h37

Envoyé par poinserré

je trouve f'(x)=3x+p avec p réel mais comment savoir si cette dérivée admet un min ou un max ?

Si j'étais toi, je vérifierais ça.
Ensuite quels sont les zéros de cette dérivée ?
Il ne doit pas être trop dur de montrer que la fonction f est d'abord croissante (elle vient de - infini !) donc le premier extremum est un maximum.