Equation différentielle : y-xy'=0

[G.Scott]

Bonjour ; je ne sais pas comment résoudre cette équation différentielle : y-xy'=0. On voit juste que x->0 et x->ax, a dans R sont solutions mais après je ne sais pas trop comment faire. Pouvez vous m'aider svp ?

[benjy_star]

Salut !

Et si tu séparais les variables ? Les y et y' d'un côté et le x de l'autre...

[Calvert]

Salut!

En séparant tes variables (les y d'un côtés, les x de l'autre), tu devrais facilement pouvoir faire apparaître un dérivée logarithmique facile à intégrer.

EDIT: grilled...

[poinserré]

tu obtient sauf erreur :

y'/y=1/x ...................... d'ou y= exp(k) * x

[benjy_star]

tu obtient sauf erreur :

y'/y=1/x ...................... d'ou y= exp(k) * x

Pas trop d'accord avec la résolution...

Mais je peux me tromper...

[G.Scott]

Ok merci beaucoup.

[G.Scott]

Pour la résolution on a :

En intégrant :
ln y = ln x + K, K dans R
y = exp(lnx + K)
y = exp(K)x
y = kx , k dans R+

Est-ce correct ?

Et vu que on arrive au résultat avec des équivalences, alors toutes les solutions sont de la forme y(x)=kx, k dans R+

[acx01b]

y = y'x

si x est une constante:

ça donne exp(ax) avec a réel
(exp(u))' = u' exp(u)

[G.Scott]

Oui mais justement x n'est pas une constante.

[homotopie]

Et vu que on arrive au résultat avec des équivalences, alors toutes les solutions sont de la forme y(x)=kx, k dans R+

Et donc y : x->-x n'est pas solution car -1 n'est pas dans R+
La petite erreur est là :

En intégrant :
ln y = ln x + K, K dans R

ln(lyl)=ln(lxL)+K.
Maintenant cette méthode permet de trouver facilement la forme des solutions mais elle nécessite de montrer que y est non nulle au voisinage des points considérés ce qui est plus ou moins pénible.
Un moyen de contourner est de chercher la forme selon la méthode précédente au brouillon et d'utiliser la méthode de variation des constantes : on pose y=k(x)x
on injecte dans l'équation on en sort k'=0 comme CNS et donc k(x) est une constante.