Séries entières: rayon de convergence

jeanmi66 · 30/04/2007 - 23h21

Bonjour à tous.

Voici la série suivante:
$\sum_{(n \geq 1)} [\frac{(2n)!}{n!n^n}]$
comprendre: somme de ce qu'il y a entre crochets avec n>=1

Moi, la limite en +oo je trouve 0 et donc R=+oo mais j'ai un doute. La série est bien convergente mais je pensais trouver la lim <1 mais pas égale à 0.

Quelqu'un pourrait-il me contrôler svp ?

Merci d'avance

zinia · 01/05/2007 - 00h18

Bonsoir,

Il me semble qu'il y a un problème. Si c'est bien
$\frac{(2n)!}{n! n^n}$ ton terme général, alors il tend vers l'infini.
Plus précisément, avec Stirling, on trouve $(4/e)^n$ comme équivalent

indian58 · 01/05/2007 - 08h34

Envoyé par jeanmi66

Moi, la limite en +oo je trouve 0 et donc R=+oo mais j'ai un doute. La série est bien convergente mais je pensais trouver la lim <1 mais pas égale à 0.

Je ne suis pas tout à fait sûr de comprendre d'où vient le R.

jeanmi66 · 01/05/2007 - 08h35

Vers +oo ???? Comment t'y arrive ?

Je saisi bien la formule de stirling mais je vois tjs pas ?

Merci

zinia · 01/05/2007 - 09h35

Bonjour

Pour Indian58 : je pense qu'il a oublié le $z^n$ dans la définition

Pour jeanmi66 :
$\frac{(2n)!}{n!n^n}=\frac{(n+1 )}{n}\frac{(n+2)}{n}....\frac{ 2n}{n}$
c'est un produit de nombres supérieurs à 1 qui tend vers l'infini lorsque n grandit. Donc la série associée a un rayon de cvg nul

jeanmi66 · 01/05/2007 - 09h38

Envoyé par zinia

Bonjour

Pour Indian58 : je pense qu'il a oublié le $z^n$ dans la définition

Pour jeanmi66 :
$\frac{(2n)!}{n!n^n}=\frac{(n+1 )}{n}\frac{(n+2)}{n}....\frac{ 2n}{n}$
c'est un produit de nombres supérieurs à 1 qui tend vers l'infini lorsque n grandit. Donc la série associée a un rayon de cvg nul

En effet, dans la somme, il me manquait: SOMME de blablabla x Xⁿ

Je n'ai pas saisi ce que tu a fait ZINIA: c'est pas une décompo en éléments simples, je pige pas ce que c'est...

Merci

jeanmi66 · 01/05/2007 - 09h40

Envoyé par indian58

Je ne suis pas tout à fait sûr de comprendre d'où vient le R.

R: rayon de convergence

zinia · 01/05/2007 - 10h04

Envoyé par jeanmi66

Je n'ai pas saisi ce que tu a fait ZINIA: c'est pas une décompo en éléments simples, je pige pas ce que c'est...

C'est simplement la définition d'une factorielle (niveau Lycée)
(2n)!= 1x2x3.....xnx(n+1).....x(2n)=n ! x (n+1)...(2n)
et en bas n^n=nxnxn...xn

jeanmi66 · 01/05/2007 - 10h33

Ce que je veux dire, c'est comment tu arrive à avoir ce 4 de (4/e)^n

Merci pour le cours niveau Lycée

zinia · 01/05/2007 - 10h57

Ca c'est avec la formule de Stirling qui donne plus précisement
$Ln(\frac{2n!}{n! n^n})=(2n+0,5)Ln(2)-n$ après simplification
soit nLn(4/e)+0,5Ln(2) et en prenant l'exponentielle $\sqr2\; (\frac{4}{e})^n$

Viviter · 02/05/2007 - 09h35

Sinon, jeanmi66, on a aussi la formule de Stirling (que je trouve plus simple perso) :
n! ~ racine (2 x Pi x n) x (n/e)^n (je galère pour écrire !!!)
Bref si on remplace dans la formule initiale, on trouve l'équivalent :
2n!/(n! x n^n) ~ racine (2) x (4/e)^n