Dérivée fonction plusieurs variables

dj_titeuf · 05/05/2007 - 12h44

Bonjour,

J'ai des difficultés avec les dérivées partielles. Je connais pourtant mon cours, avec les diverses formules de dérivation en chaîne, mais je ne parviens à les appliquer...

Par exemple, je suis incapable de développer ceci: $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} (f(tx,ty)) =$ ?

Pourriez-vous me donner l'expression et m'indiquer comment vous raisonnez?
D'avance merci.

cedbont · 05/05/2007 - 15h11

Bonjour,
moi je ferais avec les matrices jacobiennes en posant :
f(u,v) = f(t*x,t*y)
On a donc u = t*x et v = t*y (si je me fais comprendre).
Alors df(t*x,t*y)/dx = df(u,v)/du*du/dx + df(u,v)/dv*dv/dx = t*df(u,v)/du
Je crois.

dj_titeuf · 05/05/2007 - 15h15

Justement, je n'ai pas vu les matrices jacobiennes... En réalité, je vois à peu près ce dont il s'agit, mais je ne suis pas censé les utiliser..

[Je rep à ton mp dès que possible

]

cedbont · 05/05/2007 - 15h20

Bon et bien la méthode sans matrice c'est de dériver f par rapport à toutes ses variables et tu les multiplies chacunes par les dérivées des variables par rapport à x.

dj_titeuf · 05/05/2007 - 15h22

Envoyé par cedbont

Bon et bien la méthode sans matrice c'est de dériver f par rapport à toutes ses variables et tu les multiplies chacunes par les dérivées des variables par rapport à x.

Je ne saisis pas bien la deuxième partie de ta phrase...

Peux-tu préciser stp?

cedbont · 05/05/2007 - 15h27

Et bien df/du et df/dv sont les dérivées de f par rapport à ses variables et tu dois les multiplier respectivement par du/dx et dv/dx.

dj_titeuf · 05/05/2007 - 15h34

Aurais-tu un exemple concret? Que sont $u$ et $v$ ?

dj_titeuf · 05/05/2007 - 15h39

Regarde: dans l'exemple que j'ai donné dans mon premier post, on est censé trouvé $t \, \frac{\partial f}{\partial x}$ . Or, moi, je trouve $t \, \frac{\partial f}{\partial u}$ ...

cedbont · 05/05/2007 - 16h52

Ben non, on est censé trouver t*df(u,v)/du.

PS : u =x*t et v = y*t

dj_titeuf · 05/05/2007 - 16h56

Pourrais-tu détailler ta démarche stp?

ChromoMaxwell · 05/05/2007 - 20h04

Pour ne pas t'emmêler les pinceaux sur les variables, je te conseille de ne pas noter les dérivées partielles comme tu le fais. De plus, précise bien les fonctions que tu dérives.

Au lieu de noter $\frac{\partial}{\partial x}$ , et $\frac{\partial}{\partial y}$ , tu notes $D_1$ et $D_2$ , pour désigner les respectivement la dérivation par rapport à la première variable et la dérivation par rapport à la deuxième varaible.

Ensuite, quelle fonction dérives-tu ? Tu fixes d'abord ton paramètre t, et ta fonction f de départ. Puis tu considères la fonction $g : (x,y) -> f(tx,ty)$

On te demande $D_1(g)(x,y)$ .

Comme tu le vois, g est une fonction composée. Si l'on note $h_1 : (x,y) -> tx$ et $h_2 : (x,y) -> ty$ , tu vois que $g(x,y)=f(h_1(x,y),h_2(x,y))$

Et normalement, ta formule de cours te donne

$D_1(g)(x,y)=D_1(h_1)(x,y)*D_1( f)(h_1(x,y),h_2(x,y)) + D_1(h_2)(x,y)*D_2(f)(h_1(x,y), h_2(x,y))$

Comme $D_1(h_2)(x,y)=0$ , $D_1(h_1)(x,y)=t$ tu trouves

$D_1(g)(x,y)=t*D_1(f)(tx,ty)$

Est-ce que ça t'éclaire ?

dj_titeuf · 05/05/2007 - 21h06

Est-ce que ça t'éclaire ?

Oui, beaucoup! Merci de ces précisions!

Je vais réessayer..

dj_titeuf · 06/05/2007 - 10h19

Bonjour!

Une dernière question, si vous me permettez:

quelle est la dérivée partielle seconde $\frac{\partial^2 g}{\partial u^2} (u,v)$ , sachant que j'ai trouvé que $\frac{\partial g}{\partial u} (u,v) = \frac{\partial f}{\partial x} (u,v+ \frac{1}{2} u^2)$ ?

Merci d'avance.

ChromoMaxwell · 06/05/2007 - 17h42

Qu'entends-tu par g ? Ce que j'ai noté dans mon post précédent ?

Si c'est le cas, ton résultat n'est pas correct. Tu peux préciser comment tu raisonnes ?