Fonction ou distribution?

[Koranten]

Bonjour à tous,

J'aimerai connaître la différence entre une fonction et une distribution? Je crois savoir par exemple que l'impulsion Dirac n'est pas une fonction mais une distribution...

Je voudrai juste une réponse conceptuelle, pas besoin de démonstration de théorème d'existence...

Merci d'avance!

[rvz]

Salut,

En fait, une distribution est un concept plus général que celui de fonctions.
Une distribution est par définition une forme linéaire sur l'espace des fonctions de classe C infini et à support compact. Cette définition n'est à priori pas très parlante, mais bon, c'est comme ça.
Alors pourquoi dit-on que ça généralise les fonctions ? Parce que si f est une fonction, l'application
est une distribution. De plus, l'application qui à une fonction f associe est injective, canonique et donne une manière naturelle "d'inclure" l'ensemble des fonctions parmi les distributions.

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rvz

[Gwyddon]

Salur rvz,

Ça va ? Ça faisait longtemps

Est-ce que l'on peut étendre l'espace des fonctions test pour les distributions (question en rapport avec ce fil : http://forums.futura-sciences.com/thread146048.html )

[Koranten]

Merci pour ces réponse, mais en effet, tout ça ne me parle pas beaucoup... Y aurait-il un physicien dans les parages pour me donner une explication peut-être plus en rapport avec la... Physique, justement?

Fonctions tests, fonctions tests... Ca me rappelle un peu les éléments finis tout ça, méthode de résidus pondérés...

Ce que j'en vois, moi, c'est que l'intégrale du produit d'une fonction par une fonction test est une distribution...? Trop simpliste? Pas ça du tout?

[Gwyddon]

Salut,

La distribution est la forme qui associe à une fonction test l'intégrale résultante.

Mais par exemple pour la distribution de Dirac, la distribution est



On note souvent cela (par analogie avec les fonctions généralisées en distribution) :



Comme tu le vois, aucune fonction ne permet de donner un sens à cette intégrale, c'est pourquoi la distribution de Dirac n'est pas une fonction au sens du terme.

[rvz]

Salur rvz,

Ça va ? Ça faisait longtemps

Est-ce que l'on peut étendre l'espace des fonctions test pour les distributions (question en rapport avec ce fil : http://forums.futura-sciences.com/thread146048.html )

Salut Gwyddon,

C'est vrai que ces derniers temps, j'ai enfin réussi à me remettre à Futura Manifestement pour le plus grand plaisir des physiciens (@Koranten: désolé pour l'explication un peu abrupte d'une distribution, mais bon, faut admettre que c'est un concept difficile...)

Sinon, à ta question, la réponse est en général non.
Je fais juste un petit rappel ici qui je suis sûr ne t'a pas échappé: "La dérivation est une opération continue sur les distributions". A mon sens, c'est ce qui fait la force de la théorie.

Voici maintenant quelques cas particuliers:
1/ si tu travailles sur une distribution qui est une fonction L^2, tu peux prendre n'importe quelle fonction L^2 comme fonction test. Par contre, un énorme problème arrive quand tu t'autorises à dériver les distributions, puisqu'il faut entrer dans les espaces de Sobolev pour que ça garde un sens.
2/ si ta distribution a un support différent de tout l'espace, en fait, on se fout de ce qui se passe loin du support, donc on peut travailler sans problème du tout avec des fonctions régulières uniquement au voisinage du support.
3/ si tu travailles sur R^n, la classe de Schwarz est un espace de fonctions tests un peu plus gros que les fonctions de classe C infini à support compact. Cela dit, c'est pas un gain monstrueux...

Pour ton thread, j'avoue que ça me fait un peu peur de regarder ta grosse intégrale, là. Si tu y tiens vraiment, je suis prêt à essayer de le faire, mais bon...

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rvz

[rvz]

http://forums.futura-sciences.com/thread146048.html )

En fait, j'ai relu le thread, et la question sous-jacente est A quelle condition peut on faire un changement de variable ?
En fait je crois qu'il faut que l'application du changement de variable soit un C^infini difféo, et tu la définis par la formule du changement de variable.
De plus, si T est à support compact, je pense que g a juste besoin de vérifier ces hypothèses dans un voisinage de supp(T), quitte à recoller en petit bout pour vérifier que c'est bien défini de façon univoque.

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rvz

[Gwyddon]

Salut,

merci pour ces prévisions, j'ai appris quelques trucs au passage (et désolé à Korenten pour avoir un peu *pourri* son post)

[Koranten]

Merci pour ces réponses. @Gwyddon: pas grave tu n'as rien pourri du tout, c'est juste moi qui ne suis pas trop à ma place ici. On parle de support compact et je ne sais même pas ce que c'est... Je suis étudiant ingénieur et j'aime beaucoup les maths, mais pas à ce niveau. Pour les éléments finis par exemple, je me contente très bien des matrices. Ceux qui veulent s'amuser avec des tenseurs, des produits contractés d'ordre 2 et des critères de tensorialité, ... grand bien leur fasse, mais sans moi! Enfin bref, merci, j'ai compris que c'était pas de mon niveau, et c'est pas bien grave, c'était juste une question de culture G comme ça. Merci!

[Gwyddon]

Il ne faut pas dire ça

Une fonction à support compact est une fonction qui est nulle partout sauf sur un ensemble compact ; typiquement dans IR une fonction qui est nulle sauf sur un intevalle fermé est une fonction à support compact (rappel : compact = fermé borné en dimension finie).

As-tu compris mon post #5 ?

On est ravi de pouvoir t'aider et t'apporter des réponses

(tout comme on l'est quand on nous en apporte )

[Koranten]

Bin non, j'ai pas bien compris. Ca veut dire quoi "aucune fonction ne peut donner un sens à cette intégrale"... Gné? Un "sens"?

Bon, le Dirac, qui est nul partout sauf en 0 où il vaut l'infini, en ce sens, mais si c'est pas une fonction, il est à support compact?

Mais ça sort d'où, ces termes? "Compact"? Et quel est l'intérêt de distinger support compact de support... bin, euh, *pas* compact (c'est quoi le vrai mot?) ???

[alovesupreme]

Bonjour,

Il y a un bon livre sur ce sujet écrit par un ingénieur des télécoms.
C'est 'La théorie des distributions et ses applications' de Jacques Dupraz aux éditions cepadues.

[rvz]

Bin non, j'ai pas bien compris. Ca veut dire quoi "aucune fonction ne peut donner un sens à cette intégrale"... Gné? Un "sens"?

Bon, le Dirac, qui est nul partout sauf en 0 où il vaut l'infini, en ce sens, mais si c'est pas une fonction, il est à support compact?

Non, si le dirac était une fonction, tu pourrais l'élever au carré par exemple. Cela dit, avec la défintion que tu as écrit ci-dessus, doit-on comprendre que
. Pire, avec la définition que tu proposes, on aurait , ce qui est quand même énormément contre-intuitif, non ?

Donc non, le dirac n'est pas une fonction. Après, c'est vrai que l'argument de Gwyddon est aussi vrai, mais ça en fait c'est le même. Ton dirac est nul pp, mais son intégrale contre la fonction constante 1 vaut 1. Le dirac n'est donc pas une fonction Lebesgue mesurable.

Mais ça sort d'où, ces termes? "Compact"? Et quel est l'intérêt de distinger support compact de support... bin, euh, *pas* compact (c'est quoi le vrai mot?) ???

En fait, il y a plein de cas où ça n'a aucun intérêt, par exemple quand tu considères des diracs (plus généralement, dès que la distribution est à support compact).
Cela dit, l'ensemble des fonctions tests doit vérifier un critère de compacité parce qu'on veut que s'injecte dans les distributions.
Notamment, on veut que des fonctions non intégrables, comme soient des ditributions.

__
rvz

[zarkis]

Bonjour je te conseil aussi le livre sur les distribution de Zuily ainsi que son livre d'exercice.

[Koranten]

Ok, merci encore mais, vraiment, ma formation en maths ne doit pas être suffisante pour comprendre tout ça... Lebesgue par exemple, c'est à peine si j'ai déjà entendu ce nom...

Merci!