Equivalent d'une suite récurrente

[invite42abb461]

Bonjour,

j'ai étudié la suite définie par :



Je trouve que sa limite est 1 ou +infini selon la position de u0. Maintenant je cherche a en trouver un equivalent en +infini.

J'ai essayé pas mal de choses (passage a l'inverse, encadrement, trouver directement l'expression de u_n, trouver un equivalent de f(u_n+1) - f(u_n) ), mais rien ne vient.

Auriez vous une piste et, plus généralement, de bons réflexes a avoir lorsque l'on nous demande un equivalent d'une suite quelconque ?
Merci

[invitec053041c]

Bonjour, peux-tu nous dire ce que vaut u0 ?

[invite42abb461]

Il est quelconque. Comme on le voit en étudiant la suite, on peut le supposer strictement positif mais cela n'a pas d'importance. C'est juste que pour certaines valeurs (plus grand que un si je me souviens bien), la suite tend vers +inf..On se place dans ce cas.

[inviteaf1870ed]

Comme ta suite tend vers +inf, tu peux éliminer le terme +1/2 de la formule de récurrence, cela devrait te donner une idée de l'équivalent.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Comme ta suite tend vers +inf, tu peux éliminer le terme +1/2 de la formule de récurrence, cela devrait te donner une idée de l'équivalent.

Effectivement, sinon tu peux regarder
qui a vraiment une bonne tête.

__
rvz

[invite42abb461]

J'aimerais obtenir un truc comme le dit rvz mais cela ne marche pas avec votre suite, il ya encore v_n dans l'équivalent....J'ai aussi essayé de passer au log mais j'ai lamentablement échoué.

[invite6b1e2c2e]

C'est juste une histoire de savoir quel terme domine. Ici, quand u_n tend vers l'infini, le terme 1/2 est négligeable devant le terme en u_n²/2, et donc tu peux t'attendre à ce que ta suite se comporte "en gros" comme si le terme constant 1/2 n'existait pas.

__
rvz

[inviteb393f472]

Bonjour a tous
Bon alors on pose Vn=(Un-1)/2
on alors Vn+1=Vn + Vn^2
Vn->infiny
donc Vn+1 équivalent à Vn^2
donc Vn equivalent a V0^(2^n)
avec V0=(U0-1)/2
enfin je pense

[invite42abb461]

J'etais sur la meme piste, mais une fois qu'on a intuité ca, comment le prouver ?

[invite10a6d253]

Comme , on obtient facilement une inégalité où . Mais, posons . Alors, vérifie



On remarque facilement que est positive, croissante...et tend vers l'infini ! Donc attention aux raisonnements avec équivalents.

[invite42abb461]

Je trouve l'equivalent suivant : u_n = u_o^(2n)/2n, c'est ca ?

[invite6b1e2c2e]

Salut,

En général, quand on voit ça, la première chose à faire est de regarder les limites éventuelles, et un ensemble laissé stable par f. Ici par exemple R+.
On voit que 1 est un point fixe et c'est le seul (racine double).

Après, pour trouver des équivalents, on regarde une suite
où g est une fonction à notre disposition.
Ce qu'on aimerait avoir, c'est que
. En effet, si on arrive à avoir ça, alors, en appliquant le théorème de Césaro à , on obtient que ie quand le passage aux équivalents va bien.

Ce que tu veux sur g, c'est une autre histoire: on regarde en général du coté des fonctions puissances...

Bon courage,
__
rvz

[invitec053041c]

Bonjour, j'ai un peu réfléchi au sujet, et j'avoue que je sèche comme toi.
Je pense que trouver des équivalents pour de telles suites peut s'avérer un vrai casse-tête.
Rien que trouver un équivalent de la factorielle (qui a pourtant une relation de récurrence très simple) est périlleux!
Pour en arriver à ~ , il faut s'accrocher . Et je ne pense pas que ta suite ait un équivalent simple, mais je peux certainement me tromper .