Calcul avec les fonctions gamma et béta

ericcc · 08/06/2007 - 17h08

Envoyé par zinia

Bien entendu, pour bénéficier d'un maximum de précision il faut être capable de déterminer la limite de g(n)...

La limite de g(n) est, me semble t il : $ln(\frac{sinh\pi}{\pi})$

voir ici http://mathworld.wolfram.com/InfiniteProduct.html

zinia · 08/06/2007 - 18h56

Envoyé par ericcc

La limite de g(n) est, me semble t il : $ln(\frac{sinh\pi}{\pi})$

ça marche bien et il n'y a même pas de constante d'Euler. J'avais cherché autrement et avait trouvé
$lim(g(n))= \zeta(2)-\frac{\zeta(4)}{2}+\frac{\zeta (6)}{3}-\frac{\zeta(8)}{4}+\frac{\zeta (10)}{5}....$

ericcc · 08/06/2007 - 19h58

Oui en utilisant le développement en série de log(1+x)

Gwyddon · 08/06/2007 - 23h34

Salut,

Comment fait-on pour trouver cette limite ? Je n'arrive qu'à la limite proposée par zinia

zinia · 08/06/2007 - 23h56

Bonsoir,

A la réflexion, on a un très bon équivalent de f avec
$f(n)\sim \frac {sh(\pi)}{\pi n^2}$
par exemple, pour f(2007) cela donne 5 chiffres significatifs corrects et en developpant à l'ordre 1 les termes correctifs introduits plus haut, on améliore encore la précision : 10 chiffres significatifs pour f(2007) avec
$f(n)\sim \frac {(n-1)sh(\pi)}{\pi n^3}$
Bien entendu, pour des petites valeurs de n, c'est assez peu précis (mais quand même une erreur inférieure à 0,03 % pour n=10).
Je pense que tout cela était largement suffisant pour les besoins de Rant (?)

zinia · 09/06/2007 - 00h24

Envoyé par Gwyddon

Comment fait-on pour trouver cette limite ?

Bonsoir,
ça vient de
$\frac{sin(\pi x)}{\pi x}=\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2})$
Tu peux t'en convaincre à la Euler en constatant que les deux "polynômes" ont les mêmes racines

Gwyddon · 09/06/2007 - 00h37

Oulà ! Mais faudrait le démontrer ce machin...

Sinon on pourrait passer par la fonction gamma, mais ça nécessite la formule de réflexion, et j'avoue ne pas (plus ?) savoir comment on la démontre..

martini_bird · 09/06/2007 - 01h10

Salut,

Oulà ! Mais faudrait le démontrer ce machin...

Le sinus est la dérivée logarithmique de la cotangente, dont le développement en série est relativement bien connu.

Sinon on pourrait passer par la fonction gamma, mais ça nécessite la formule de réflexion, et j'avoue ne pas (plus ?) savoir comment on la démontre..

Tu parles de la formule des compléments, je suppose. Un moyen heuristique repose sur la comparaison des pôles (et le théorème de Weierstrass peut rendre l'argument rigoureux). Sinon, il faut piocher dans les bouquins d'analyse pour trouver des démos à la pelle.

Cordialement.

Gwyddon · 09/06/2007 - 01h15

Envoyé par martini_bird

Salut,

Le sinus est la dérivée logarithmique de la cotangente, dont le développement en série est relativement bien connu.

Euh... La dérivée log de la cotangente ce n'est pas $x \rightarrow \frac{-2}{\sin(2x)}$ ?

Tu parles de la formule des compléments, je suppose. Un moyen heuristique repose sur la comparaison des pôles (et le théorème de Weierstrass peut rendre l'argument rigoureux). Sinon, il faut piocher dans les bouquins d'analyse pour trouver des démos à la pelle.

Cordialement.

Pas idiot le théorème de Weierstrass, merci

zinia · 09/06/2007 - 07h14

Bonne journée
J'ai trouvé ça
qui correspond exactement à la démarche d'Euler avec de la rigueur en prime

martini_bird · 09/06/2007 - 10h19

Envoyé par Gwyddon

Euh... La dérivée log de la cotangente ce n'est pas $x \rightarrow \frac{-2}{\sin(2x)}$ ?

En fait, il fallait comprendre l'inverse

: la cotangente est la dérivée logarithmique du sinus. Du coup, la formule du produit est équivalente au développement

$\pi\cot\pi z=\frac{1}{z}+2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{z^2-n^2}= \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{z-n}$

Cordialement.

Rant · 12/06/2007 - 01h18

Envoyé par zinia

Bonsoir,

A la réflexion, on a un très bon équivalent de f avec
$f(n)\sim \frac {sh(\pi)}{\pi n^2}$
par exemple, pour f(2007) cela donne 5 chiffres significatifs corrects et en developpant à l'ordre 1 les termes correctifs introduits plus haut, on améliore encore la précision : 10 chiffres significatifs pour f(2007) avec
$f(n)\sim \frac {(n-1)sh(\pi)}{\pi n^3}$
Bien entendu, pour des petites valeurs de n, c'est assez peu précis (mais quand même une erreur inférieure à 0,03 % pour n=10).
Je pense que tout cela était largement suffisant pour les besoins de Rant (?)

oh oui, largement.
Quant à trouver une expression "explicite" pour $\prod_{k=1}^n(k^2+1)$ , il semble que cela soit impossible car cette expression semble intimement liée à la fonction Gamma.

En effet, on a : $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$

Du coup :
$|\Gamma(z+1)|^2=|z|^2|\Gamma(z )|^2$
et
$|\Gamma(n+1+ix)|^2=|n+ix|^2 |\Gamma(n+ix)|^2 = (n^2+x^2)|\Gamma(n+ix)|^2=|\Ga (i x)|^2 \prod_{k=1}^n(k^2+x^2)$

avec $|\Gamma(ix)|^2 = \frac{\pi x}{sh(\pi x)}$
( on trouve tout ça sur le site de Wolfram - équations 38 à 43).

Bref, tout ça pour dire que $\prod_{k=1}^n(k^2+1)$ semble être un cas particulier d'une identité remarquable définissant le module de la fonction Gamma, qui j'imagine ne peut être plus explicité...

Par ailleurs, on repartant de ta 1ére approximation :
$f(n)\sim \frac {sh(\pi)}{\pi n^2}$
et sachant que :
$f(n+1)=\frac{\prod_{k=1}^n(k^2 +1)}{(n+1)!^2}$
On en déduit que :
$f(n+1)\sim \frac {sh(\pi)}{\pi (n+1)^2} \sim \frac{\prod_{k=1}^n(k^2+1)}{(n +1)!^2}$

ce qui est équivalent à :
$|\Gamma(n +1 +i)| \sim n!$ ce qui revient à négliger le terme imaginaire...

Par contre en prenant la seconde approximation :
$|\Gamma(n +1 +i)| \sim \sqr{\frac{n}{n+1}} n!$

genawi · 04/04/2008 - 12h39

La fonction Gamma est reliée à la fonction Béta par la relation :
B(x,y)=Γ(x)Γ(y) sur
Γ(y+x)
a ce que quele q'un peu me montre les etapes comment euler a peu devloppe cette relation svp c'est vraiment important et urgant merci bcp