polynôme & son anneau de base

[slimath]

Décrire les propriétés essentielles de Z/nZ[X] & donner les particularités de Z/pZ si p premier?
ainsi que Z/p^sZ avec p premier!
à comparer à A[X] si A est infini mais de caractéristique q non nulle(q premier ou non).(A anneau ou corps)!
merci d'avance

[Airy]

Ta question est assez vague: que veux tu exactement?

Voila en vrac quelques remarques:

Quand l'anneau n'est pas intègre, cela change quelques lois au niveau du degré. On n'a pas d°(P Q) = d°P + d°Q. (cf (4X+1)(3X+2) dans Z/12Z[X]).

Par contre tu peux avoir une forme de division euclidienne parce que Z/nZ est unitaire. Donc si P est inversible dans Z/nZ (autrement dit si n et le coefficient dominant sont premiers entre eux, on a la division euclidienne).

Dans le cas de Z/pZ avec p premier, tu as Z/pZ un corps, donc Z/pZ[X] est euclidien (donc principal, noetherien et intègre).

Tu as donc :

* la division euclidienne.
*L'existence et l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.
* Le pgcd et ppcm d'une famille de polynomes.
* Bézout.

Sinon, comme Z/pZ est un corps fini, il n'est pas algébriquement clos (cf le polynome P(X) = X(X-1)(X-2)...(X-p+1)+1 n'admet aucune racine dans Z/pZ[X]).

Si je pense à d'autres choses plus précises (notamment la réduction dans
M_n(Z/pZ), je repasserais.

Sauf erreurs.

[Airy]

J'oubliais; Z/p^sZ est noethérien, mais pas intègre (donc pas nécessairement factoriel).

Pas forcément intéressant.

[slimath]

J'oubliais; Z/p^sZ est noethérien, mais pas intègre (donc pas nécessairement factoriel).

Pas forcément intéressant.

la question est aussi claire qu'interressante
1)A=Z/nZ
études des polynômes ou l'anneau de base est cyclique fini comme groupe additif
2)A=Z/pZ p premier
études des polyn ou A est isomorphe à 1 corps premier fini noté Fp
pour ceux-ci
X^p-X=0 a pour racines ttes les valeurs de Fp
3)A integre infini de caractéristique nulle
résultat essentiel:
THEOREME:l'ens des polyn est isomorphe à l'ens des fcts polyn définies sur A
4)A intègre infini de caractéristique non nulle
je pense que le résultat précédent est tjrs vrai car la démonstration ne repose pas sur la notion de caractéréstique mais je trouve ds certains livres où le théorème est énoncé sans démonstration la condition de la caract non nulle.
je vois pas la raison & je veux m'en assurer
5)la classification des polyn selon les points mentionnés ds ma question est révélératrice est instructive!
donc TRES INTERESSANT