question produit vectoriel

[dim756]

le produit scalaire de 2 vecteurs est bien egale a un scalaire, c-a-d un nombre ?

[PopolAuQuébec]

si par exemple, l'angle entre les 2 vecteurs a et b est de 56°, le produit vectoriel de a et b sera le vecteur perpendiculaire à a et b, est-ce que c'est cela ?
c'est sûr que l'angle n'intervient pas ?

L'angle entre a et b n'intervient pas dans la direction du produit vectoriel de a et de b. Il y a évidemment un cas particulier, celui où l'angle entre a et b est nul, dans lequel cas le produit vectoriel est le vecteur 0 qui n'a pas de direction bien définie.

[fifoucha]

prend le cas d'1 repère (i,j,k) orthonormé direct et je pense que tu comprendras

[dim756]

est-ce qu'on a en general :
produit vectoriel de 2 vecteurs = norme du produit vectoriel fois le vecteur perpendiculaire aux 2 vecteurs ?

[Ledescat]

est-ce qu'on a en general :
produit vectoriel de 2 vecteurs = norme du produit vectoriel fois le vecteur perpendiculaire aux 2 vecteurs ?

Oui bien-sûr , c'est la définition du produit vectoriel. Le sens sera donné par le tire bouchon, les 3 doigts etc...

[ericcc]

Je pense que tu ne comprends pas le mécanisme du produit vectoriel. Quand on a deux vecteurs on peut faire de multiples opérations avec ces vecteurs.

L'une d'elle s'appelle le produit scalaire. Il prend différentes formes.
L'une des plus utilisées consiste dans IR^n à faire le produit des coordonnées deux à deux.
Ainsi le produit scalaire de (x₁,x₂,x₃....x_n) par (y₁,y₂,y₃....y_n) est égal à x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃+....x_ny_n. Comme son nom l'indique c'est un scalaire. Ce produit est nul ssi les vecteurs sont orthogonaux. Il est donc relié au cosinus de l'angle que forment ces deux vecteurs, lequel est égal au produit scalaire divisé par le produit des deux normes :



L'autre est le produit vectoriel. Il existe principalement dans IR^3. Le produit vectoriel est un vecteur de IR^3, orthogonal au plan défini par les vecteurs que l'on multiplie, et dont la norme est égale au produit des normes des deux vecteurs que multiplie le sinus de l'angle des deux vecteurs. Ainsi le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est il le vecteur nul.
Si z est le produit vectoriel de x et y, on a :



Est ce plus clair ?

Pour plus d'infos regarde ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_vectoriel

[Ledescat]

L'autre est le produit vectoriel. Il existe principalement dans IR^3.

Je dirais même que c'est une spécificité de IR^3.

[ericcc]

En fait non, voir ici :
http://forums.futura-sciences.com/thread79870.html
ou là :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_mixte

[Ledescat]

Merci !

[dim756]

juste pour être sûr, la formule, c'est bien :
produit vectoriel de 2 vecteurs = norme du produit vectoriel fois le vecteur perpendiculaire aux 2 vecteurs ?
merci.

[Ksilver]

"Je dirais même que c'est une spécificité de IR^3."


j'irais pas jusque la... le produit vectorielle existe dans R^n, c'est une application (n-1)-lineair alterné de (R^n)^(n-1) dans R^n.

(la seul spécificité de R^3 c'est qu'on trouve bien une application bi-linéair alterné...)

Edit : c'etait déja dit en fait ^^

[Ledescat]

"Je dirais même que c'est une spécificité de IR^3."


j'irais pas jusque la... le produit vectorielle existe dans R^n, c'est une application (n-1)-lineair alterné de (R^n)^(n-1) dans R^n.

(la seul spécificité de R^3 c'est qu'on trouve bien une application bi-linéair alterné...)

Edit : c'etait déja dit en fait ^^

Oui, je me suis emballé .

[dim756]

si j'ai 2 reperes



est-ce que la formule suivante est vraie ?



-z1 d'apres la regle du tire bouchon.
merci.

[Gwyddon]

(la seul spécificité de R^3 c'est qu'on trouve bien une application bi-linéair alterné...)

Ou dit autrement : est le seul espace vectoriel réel (à isomorphisme près...) où l'on peut faire l'identification (via un isomorphisme) entre vecteur de et ensemble des applications (n-1)-linéaires alternées, car pour cela il faut n(n-1)/2 = n ce qui signifie donc n=3...

[Gwyddon]

si j'ai 2 reperes



est-ce que la formule suivante est vraie ?



-z1 d'apres la regle du tire bouchon.
merci.

On ne peut pas le dire... En effet, ta formule suppose déjà que ces deux repères sont orthogonaux, ce qui est à mon avis assez raisonnable.

Par contre, rien ne nous est dit sur la position relative du couple par rapport au couple , et de cette position dépendra de l'orientation : soit suivant , soit suivant

Enfin un petit rappel : il faut que le vecteur soit de norme 1 dans toutes les formules données ici.