Produit d'un vecteur par une matrice

neutrino éléctronique · 23/06/2007 - 15h32

Salut à tous,
pourriez vous m'expliquer comment multiplier une matrice par un vecteur?
Merci d'avance

Seirios · 23/06/2007 - 15h40

Salut,

Pour multiplier un vecteur par une matrice de dimension n*p, on doit mettre les composantes du vecteur sous forme d'une matrice de dimension p*1 (dans le cas vecteur*matrice, sinon la matrice associée au vecteur doit être de dimension 1*n pour matrice*vecteur), donc d'une matrice colonne (ou d'une matrice ligne pour le second cas), et effectuer le produit matriciel (il faut donc déterminer une base pour déterminer les composantes du vecteur).

invite43219988 · 23/06/2007 - 16h05

Bonjour

$\left( \array{a_1&a_2&a_3\\a_4&a_5&a_ 6\\a_7&a_8&a_9}\\right) * \left( \array{x\\y\\z}\\right)=\left( \array{a_1x+a_2y+a_3z\\a_4x+a_ 5y+a_6z\\a_7x+a_8y+a_9z}\ \right) $
Un exemple pour une matrice 3x3

Flyingsquirrel · 23/06/2007 - 16h06

Bonjour,

C'est un cas particulier du produit de deux matrices. Par exemple, en dimension 2 :

$ \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 \end{array}\right)$

Le produit d'une matrice et d'un vecteur (dans cet ordre, le produit de matrices n'est pas commutatif) est toujours un vecteur. Si on travaille en dimension $n$ la p-ieme coordonnée du vecteur résultat est donnée par :
$\sum_{k=1}^{n} a_{pk} x_k$
(même notations que dans l'exemple ci dessus). Pour comprendre ce que signifie un tel produit il faudrait rechercher du côté des applications linéaires.