Intégration par changement de variable

le fouineur · 28/06/2007 - 14h40

Bonjour à tous,

J'ai quelques difficultés pour intégrer:

$\int \arcsin^2(x) dx$

J'ai bien essayé le changement de variable: $u=\arcsin(x)$ mais cela ne me permet guère d'avancer....

Est ce que quelqu'un pourrait me proposer une méthode efficace pour calculer cette intégrale?

Merci d'avance pour votre aide cordialement le fouineur

Kacsou · 28/06/2007 - 15h16

Rapidement, on pose $x = \sin(t)$ . Alors :
$\begin{eqnarray*}\int \arcsin^2(x) \mathrm{d}x & = & \int t^2 \cos(t) \mathrm{d}t\\<br /> & = & t^2 \sin(t) + 2 \int t \left(- \sin(t) \right) \mathrm{d}t\\<br /> & = & t^2 \sin(t) + 2 t \cos(t) - 2 \int cos(t) \mathrm{d}t\\<br /> & = & t^2 \sin(t) + 2 t \cos(t) - 2 \sin(t)\\<br /> & = & x \arcsin^2(x) + 2 \arcsin(x) \sqrt{1-x^2} - 2x\end{eqnarray*}$
car $\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}$ , dont la démonstration facile est laissée aux soins du lecteur.

En espérant avoir aidé.

ericcc · 28/06/2007 - 15h28

On peut aussi le faire en intégrant directement par parties, en posant u=Arcsin²(x) v'=1, on tombe sur l'intégrale de Arcsin(x)*x/sqrt(1-x²) que l'on intègre à nouveau par parties : u=Arcsinx v'=x/sqrt(1-x²) etc...

Kacsou · 28/06/2007 - 15h36

Envoyé par ericcc

On peut aussi le faire en intégrant directement par parties, en posant u=Arcsin²(x) v'=1, on tombe sur l'intégrale de Arcsin(x)*x/sqrt(1-x²) que l'on intègre à nouveau par parties : u=Arcsinx v'=x/sqrt(1-x²) etc...

Tout à fait d'accord aussi

ericcc · 28/06/2007 - 16h31

L'intérêt de ne pas changer de variables est que l'on évite des problèmes sur les bornes, quand il y en a.

le fouineur · 28/06/2007 - 19h05

Bonjour ericcc et Kacsou,

Merci beaucoup pour vos deux réponses rapides et détaillées,

Je vais maintenant prendre le temps de refaire tous les calculs....

Cordialement le fouineur