Système polynomiale

[julien_4230]

Bonjour.

Comment commencer à résoudre un tel système en t1 et t2 ?

3t₀^3 + 2t₀² - t₀ = 3t₁^3 + 2t₁² - t₁

3t₀² + 2t₀ = 3t₁² + 2t₁

Je suis un peu bloqué ! Le corrigé dit : t₀ + t₁ = -2/3 et t₀t₁ = -1/3

Merci de m'aider...

[homotopie]

Bonjour,
on étudie les cas où t1 et t0 distincts donc t1-t0 non nul.
Pour chacune des équations, on ramène tout au même membre, on factorise par t1-t0, on obtient deux équations une de degré 2, une de degré 1, toutes deux symétriques en t0,t1. De là on obtient facilement t0+t1 et t0t1, le calcul de t0 et t1 devient alors lui aussi aisé.

[julien_4230]

Par exemple pour la deuxième, j'ai :

(t₁-t₀)(3[t₁^3-t₀^3]/t₁-t₀ + 2[t₁²-t₀²]/t₁-t₀ - 1) = 0

Qu'est-ce que je peux faire là ? Je ne vois pas trop de relation entre t₁^3-t₀^3 et t₁-t₀...

Merci de m'aider...

[julien_4230]

Pour le premier je trouve :
3(t1-t0)^3 + 9t1t0² - 9t1²t0² + 4t1t0 + 2(t1-t0)² - (t1-t0) = 0

Je suis, un peu, beaucoup, passionnément, à la folie des grandeurs, bloqué !

[julien_4230]

Avec plus de recherches, j'ai réussi par trouver.
Il y avait quand même pas mal de choses à faire !

Merci pour la méthode.

[Ledescat]

Bonjour.
Je te conseille de poser t0+t1=s et t0t1=p pour éviter d'alourdir tes calculs, juste un conseil en passant .

[Ksilver]

Salut !

il y a déja une solution "trivial" qui t1=t0

on suppose donc t1 différent de t0 et on pose p=t1t0 et s=t0+t1


en théorie, l'astuce consiste a diviser par t0-t1 (qui est non nul) comme ca on aura des polynomes symétriques en t0 et t1 de degré deux, donc qui s'exprimeront comme des polynome en s et p. on est assuré que les polynome sont divisible par t0-t1, car t0=t1 est solution...

en pratique, ca donne ca :


2) =>3(t0²-t1²)=2(t1-t0), donc comme t0²-t1² = (t0-t1)*s

on a 3*s=-2, d'ou s=-2/3

ensuite on examine 1), la il y a une identité qui dit que t0^3-t1^3=(t0-t1)*(t0²+t0t1+t1²)

et (t0²+t0t1+t1²) =s²-p

d'ou 1) => 3(s²-p)+2s -1 =0
s'achant que s=-2/3, on a une equation de degré qui donne p, et on a finit (t0 et t1 sont ensuite les racines du polynome x^2-s*x+p=0...)