Barycentre

[Clemgon]

Bonjour à tous!
Je cherche depuis longtemps la réponse à ce problème que je me suis créé mais je crains que mes connaissances ne soient pas suffisantes.

Soit S une figure composée: d'un demi-cercle de centre O et de rayon r, ainsi que d'une demi-ellipse, de centre O de petit axe 2r (petit axe en entier) et de demi grand axe ?(3)r (il n'y a que la moitié du grand axe).
S forme une courbe plane, fermée, qui a un peu l'allure d'un oeuf.
Question: où se situe le barycentre de S ?

[Ledescat]

Bonjour.
On sait déjà que le barycentre sera sur l'axe de symétrie. Il faut donc chercher l'abscisse sur cet axe, de la séparation pour laquelle l'aire à gauche sera la même que l'aire à droite.
Il faut donc trouver une fonction "aire", par exemple en rendant l'équation de ton ellipse et de ton cercle fonctionnelles...
Car l'aire d'une ellipse est relativement simple à calculer, mais un morceau d'ellipse sectionné verticalement, je ne l'ai jamais fait.

Ellipse: x²/a²+y²/b²=1 pour x<0 (par exemple) et tu as une relation apparemment entre a,b et r.
Cercle: x²+y²=r² pour x>0
Après ça risque de bien se compliquer, mais pour le moment je ne vois pas d'autre manière.

[Clemgon]

Hum...c'est bien ce qu'il me semblait: je n'ai pas les connaissances.
Je vais entrer en Ière!!
Bon en tout cas si quelqu'un arrive à me donner la distance OG (avec G le barycentre)en fonction de r, je comprendrais cela. Mettez quand même la solution que je prendrai plaisir à comprendre dans quelques années...

[Ledescat]

Ah oui d'accord, si tu n'as pas vu les intégrales et les coniques (dont les ellipses), ça sera très difficile. Mais même les ayant vu je crains que ce soit assez difficile .

[Clemgon]

Je ne peux pas dire que je maîtrise les coniques, mais je les connais et je sais comment les obtenir avec un cône. Quant aux intégrale, j'ai juste comrpis la notion, mais pas comment parvenir aux résultats. Et impossible de comprendre les dérivées et les primitives...

[Nox]

Bonjour,

C'est bizarre decomprendre la notion d'intégrale sans comprendre la dérivée et la primitive ... Maitrise deja les réivées, après si tu veux on peut te parler des primitives et des intégrales ...

Cordialement,

Nox

[Clemgon]

C'est peut-être bizarre... mais c'est pas un problème j'ai du temps pour apprendre et comprendre. En attendant il n'y a personne ici qui soit capable d'exprimer OG en fonction de r et d'expliquer pourquoi? J'en doute, alors aidez-moi s'il vous plaît!

[Clemgon]

Bon, puisqu'il n'y a personne pour me donner la réponse, j'ai peut-être trouvé un truc ce matin: ça ressemble peut-être un peu à ce qu'a dit Ledescat, mais si j'ai bien compris ce n'est quand même pas pareil:
on prend un repère (O,I,J) orthonormé.
On trace la courbe C_f, repésentatitive de la fonction f, qui forme un quart d'ellipse de même excentricité que celle de S, telle que les deux points M et N suivants appartiennent à C_f : M(0;1) et N("racine carrée de 3";0).
Au passage je viens de me rendre compte que le point d'interrogation en #1 était une racine carrée. M et N sont les extrémités de la courbe.
ça je dois le faire sur ma calculatrice graphique, et ensuite c'est nettement moins mathématique puisque j'y vais "à tatons": je calcule l'intégrale de f(x) avec pour réels des points allants de 0 à "racine carrée de 3" (ça c'est pour a, avec les deux précédents nombres exclus) et avec b=racine carrée de 3. Et quand le résultat trouvé est le plus proche possible de 1,072873843... (qui, si je ne me trompe pas, correspond au quart de l'aire de S en fonction de r), c'est gagné! le barycentre sera le point de coordonnées (a;0)! Y a-t-il une erreur?

[Ledescat]

Oui on peut y aller à tâton si on veut !

[Clemgon]

Donc, si je n'ai pas fait d'erreur avec la calculette (genre mettre en repère orthonormé), OG= 0,28r, à peu près.
Pouvez-vous vérifier?

[Ledescat]

Bon alors je viens d'avancer un peu.
Dans ma configuration, le 1/4 de cercle est du côté des x négatifs, et le quart d'ellipse du côté des x>0.

L'aire du quart de cercle est r².pi/4, l'aire du quart d'ellipse est 3pi.r²/4
Donc l'aire de ma figure est pi.r²
Donc, tout ça pour dire que l'on cherche à partir de quel x (positif clairement) l'aire à gauche et l'aire à droite vaudront pi.r²/2.
Si tu suis mon raisonnement, il faut que l'aire partant de l'origine jusqu'à l'abscisse de notre point considéré soit de (pir²/2-pi.r²/4=pi.r²/4) car on connaît déjà l'aire du quart de cercle en cadeau .
Cette aire partant de l'origine jusqu'à x vaut (en utilisant la forme fonctionnelle de l'équation d'ellipse):


Si je ne m'abuse.
Il faut donc réésoudre A=pi.r²/4

Bon et là...à part les méthodes numériques .

[Ledescat]

Bon, un petit coup de Maple me donne quelque chose comme approximativement:
OG=0.7947962547.. r

Il y a une expression littérale de ce (.7947962547) mais c'est relativement incompréhensible .

[Clemgon]

Merci Ledescat!!
Seulement, j'ai fait une erreur dans le post #1, puisque le demi-grand axe vaut racine carrée de 3, et pas trois! J'étais allé dans word pour trouver le symbole mais au moment de poster ça s'est tranformé en point d'interrogation... je ne sais pas en quoi ça perturbe le calcule (pour l'intégrale, puisque du coup l'aire du quart d'ellipse vaut pi.r²."racine carrée de 3"/4). Je suis le raisonnement jusqu'au moment où tu mets l'intégrale... mais après je retrouve des symboles plus familiers.

[Ledescat]

Bon, il doit y avoir des erreurs. Ce qui m'embête c'est le paramètre r qui gêne pour les études numériques.
Je m'y pencherai plus sérieusement.
D'ailleurs j'ai oublié les bornes de mon intégrale...

[Clemgon]

Merci beaucoup!!