Q, R, densité, paradoxe ?

[Médiat]

Le post de Romains-des-bois m'a fait penser à cette question :





Et pourtant .

Tout cela est-il bien normal ?

[invitec053041c]

Le post de Romains-des-bois m'a fait penser à cette question :

Mais selon le cas il en existe une quantité dénombrable ou indénombrable, mais je ne pense pas que ça réponde à la question...

[Médiat]

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Mais selon le cas il en existe une quantité dénombrable ou indénombrable, mais je ne pense pas que ça réponde à la question...

C'est bien là que se situe "le truc"

[invitec053041c]

D'accord .

Sinon, je profite de ce post pour demander comment montrer l'indénombrabilité de IR ? Si cela n'est pas trop long bien-sûr.
Merci à vous .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Sinon je pense à un autre "paradoxe" du même style dont je n'ai pas la réponse:

IQ est dénombrable, donc card(IQ)=card(IN)

Seulement, entre deux entiers, il existe une infinité de rationnels !

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La réponse doit résider dans la notion d'infinis, mais je ne suis pas assez calé pour y répondre .

EDIT: et en vrac (décidemment ça m'inspire),la relation £ :A£B ,A est dense dans B, est-elle une relation d'ordre ?

[Médiat]

IQ est dénombrable, donc card(IQ)=card(IN)

Seulement, entre deux entiers, il existe une infinité de rationnels !

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Dans le cas et , le truc vient de ce que , dans le cas et ,

[invitec053041c]

Merci pour tes réponses Médiat !
Seulement je n'ai pas vu les ordinaux (si je ne m'abuse ), donc ce n'était pas de mon niveau comme je l'avais prévu.
Je n'ai jamais vu la numération des nombres compris entre 0 et 1 en base 2.
Serait-ce avec une décomposition de ce type :
avec

Ou bien suis-je complètement à côté de la plaque ?

Q est dense dans R et R est évidemment dense dans Q. Or Q est différent de R, la relation n'est pas antisymétrique, c'est pas une relation d'ordre.

Il me semble que A£B a besoin de la condition AcB au préalable.

edit: grillé pour la dernière partie de mon message .

[Médiat]

Seulement je n'ai pas vu les ordinaux (si je ne m'abuse )

Il s'agit plutôt de cardinaux (pas si compliqué que cela)

Je n'ai jamais vu la numération des nombres compris entre 0 et 1 en base 2.
Serait-ce avec une décomposition de ce type :
avec

C'est bien parti ...

[invitec053041c]

D'accord .
Le problème est la réflexivité...A n'est pas nécéssairement dense dans A (cf IN), à moins que les inégalités puissent être larges?

Bon je réfléchis pour l'indénombrabilité .


EDIT: en fait, à vue de nez, le cardinal de l'ensemble des nombres compris entre 0 et 1 serait celui de l'ensemble des parties de IN, qui n'est pas dénombrable. Mais c'est juste un petit feeling comme ça .

[Médiat]

Le problème est la réflexivité...A n'est pas nécéssairement dense dans A (cf IN), à moins que les inégalités puissent être larges?

IN est dense dans IN, pas de problème

EDIT: en fait, à vue de nez, le cardinal de l'ensemble des nombres compris entre 0 et 1 serait celui de l'ensemble des parties de IN, qui n'est pas dénombrable. Mais c'est juste un petit feeling comme ça .

Bon nez ... indice : te casse pas la tête, c'est assez simple, c'est même une caractéristique de ce problème

[invitec053041c]

Oui, on peut montrer que tout réel de [0;1] a une décomposition unique (que j'ai donnée) regroupée dans la liste infinie
qui est précisément la caractérisation de l'ensemble des parties de IN [non dénombrable]. Pour la preuve de ceci, j'ai vu que c'était le théorème de Cantor qui pouvait s'y appliquer, mais je ne me suis pas risqué à la comprendre .

EDIT: IN dense dans IN? Il n'existe pas d'entier strictement compris entre 1 et 2, c'est pour cela que je pensais qu'on avait droit aux inégalités larges. Enfin si tu me le dis je te crois !

[invitec053041c]

mais je ne me suis pas risqué à la comprendre .

la démonstration du théorème de cantor en fait .

[Médiat]

IN dense dans IN? Il n'existe pas d'entier strictement compris entre 1 et 2, c'est pour cela que je pensais qu'on avait droit aux inégalités larges. Enfin si tu me le dis je te crois !

Tout voisinage d'un entier contient un entier (et c'est généralisable )

[invitec053041c]

Bonsoir.

Est-ce que le produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable ? J'imagine que oui mais on ne sait jamais.

Merci.

[invite71e36490]

EDIT: et en vrac (décidemment ça m'inspire),la relation £ :A£B ,A est dense dans B, est-elle une relation d'ordre ?

La preuve que non : Q est dense dans R et R est évidemment dense dans Q. Or Q est différent de R, la relation n'est pas antisymétrique, c'est pas une relation d'ordre.

[Médiat]

La preuve que non : Q est dense dans R et R est évidemment dense dans Q.

cf. ma réponse, "A est dense dans B" n'a de sens que si "A inclus dans B"

[Médiat]

EDIT: et en vrac (décidemment ça m'inspire),la relation £ :A£B ,A est dense dans B, est-elle une relation d'ordre ?

Dans la mesure où "A est dense dans B" implique que "A est inclus dans B" et que l'inclusion est une relation d'ordre ... disons qu'il y a de forte chance, (il reste la transitivité, un contre exemple doit être plutôt sympa )

[invite71e36490]

cf. ma réponse, "A est dense dans B" n'a de sens que si "A inclus dans B"

Ouups héhé j'oubliais

Dans la mesure où "A est dense dans B" implique que "A est inclus dans B" et que l'inclusion est une relation d'ordre ... disons qu'il y a de forte chance, (il reste la transitivité, un contre exemple doit être plutôt sympa )

Ben dans ce cas, ca va. On suppose A dense dans B et B dense dans C.
Soit Par hypothèse on a Comme on a aussi on peut encore écrire . On prend alors a dans A entre et et c'est fini.

Ou alors je dis que des bêtises aujourd'hui.

Edit : Il faut que les relations d'ordre "<" de l'hypothèse soient les mêmes, sinon j'imagine que c'est pas aussi gentil...

[invitec053041c]

Ben dans ce cas, ca va. On suppose A dense dans B et B dense dans C.
Soit Par hypothèse on a Comme on a aussi on peut encore écrire . On prend alors a dans A entre et et c'est fini.

Oui,c'est ce que j'aurais fait Osceola, mais vu que Médiat parlait de joli contre-exemple, ça m'intriguait .

[Médiat]

Oui,c'est ce que j'aurais fait Osceola, mais vu que Médiat parlait de joli contre-exemple, ça m'intriguait .

J'ai répondu très vite, il me semblait qu'intuitivement cela devait être vrai et que s'il y avait un contre exemple il serait vraiment tordu (et pour cause )

[Médiat]

Ben dans ce cas, ca va. On suppose A dense dans B et B dense dans C.
[...]
Edit : Il faut que les relations d'ordre "<" de l'hypothèse soient les mêmes, sinon j'imagine que c'est pas aussi gentil...

En fait il faudrait faire une démonstration plus générale :



et conclure...

Bien sur il faut que la topologie sur chacun des sous-ensembles soit celle du plus grand induite sur eux

[Médiat]

Sinon, je profite de ce post pour demander comment montrer l'indénombrabilité de IR ? Si cela n'est pas trop long bien-sûr.

Pense à la numération en base 2 des nombres réels entre 0 et 1, et aux parties de IN... Je te laisse trouver, c'est là qu'est le vrai plaisir

[erik]

Sinon, je profite de ce post pour demander comment montrer l'indénombrabilité de IR ? Si cela n'est pas trop long bien-sûr.

Salut,

fais une recherche sur le net avec comme mots clé "diagonale de Cantor".
Tu trouveras une démo courte, simple et élégante de l'indénombrabilité de IR.

Par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/Argumen...nale_de_Cantor