Des nombres particuliers

Bonsoir,

J'ai constaté, notament en consultant les sites consacrés à BOINC, qu'il y a beaucoup de mathématiciens qui recherche à décrouvrir des nombres premiers ou des nombres de Riesel, de Sierpinski etc. de plus en plus grands en développant des algorythmes de plus en plus perfectionés.

Ma question serait de savoir en quoi le fait de découvrir de plus en plus de ces nombres peut-il provoquer une avancée en mathématiques ?

Merci d'avance pour vos éclaircissements.

[FonKy-]

ah mon avis aucune, quoique au moins on le connait, on peut s'en servir, et je pense qu'il peut arriver de devoir s'en servir, mais en l'occurence c plus un trophée de chasse

FonKy-

[Ledescat]

Bonsoir.


Une connaissance "parfaite" de l'ensemble des nombres premiers serait une révolution dans le monde mathématique, car engendrerait un cataclysme dans tout ce qui est système de sécurité,de codage,de cryptage etc...
Donc oui ça a son importance .

[FonKy-]

Envoyé par Ledescat

Bonsoir.


Une connaissance "parfaite" de l'ensemble des nombres premiers serait une révolution dans le monde mathématique, car engendrerait un cataclysme dans tout ce qui est système de sécurité,de codage,de cryptage etc...
Donc oui ça a son importance .

Certes mais étant donné qu'on a démontrer que cet ensemble était infini ..

FonKy-

[Ledescat]

Envoyé par FonKy-

Certes mais étant donné qu'on a démontrer que cet ensemble était infini ..

FonKy-

Infini certes, mais cela ne nous donne pas plus de renseignements que cela...Si tu arrives à trouver un générateur de tous les nombres premiers (et que tu te fais pas piquer ton brevet), tu n'as pas à te faire de soucis pour ton avenir .

Oui mais par exemple est-il imaginable qu'un jour nous découvriions une sorte de règle nous permettant de déterminer à quelle fréquence apparaissent les nombres premiers ? Mais je ne pense pas que la recherche actuelle (je reprend l'exemple des projets BOINC) utilisants le brute-forcing soient sur la bonne méthode pour découvir une telle loi. On a l'impression qu'ils se contentent de dresser une sorte de liste de ces nombres plustot qu'étudier l'ensemble en lui même.

adr057

[FonKy-]

Envoyé par Ledescat

Infini certes, mais cela ne nous donne pas plus de renseignements que cela...Si tu arrives à trouver un générateur de tous les nombres premiers (et que tu te fais pas piquer ton brevet), tu n'as pas à te faire de soucis pour ton avenir .

Oui mais c'est pas la question adr, il parle juste d'en trouver un nouveau de plus a chaque fois. D'ailleurs j'ai une question par rapport a ce que tu dit, est-ce que tout est démontrable en mathématique,ou y-a-til des choses qui ne le sont pas ?

FonKy- =)

Salut,

Selon mon avis personel les fondements des mathématiques à partir desquels on crée les théorèmes (les axiomes par exemples) ne peuvent être démontrables car sinon ils renveraient à des conceptes encore plus fondamentaux qu'eux. Ce qui nous donerait le "paradoxe de la poule et de l'oeuf"

adr057

[Gwyddon]

Au delà des axiomes, il y a un théorème fondamental, d'un certain Gödel, qui stipule que dans tout système logique mathématique contenant l'arithmétique il existe des propositions indécidables : leur valeur de vérité au sein du système logique n'est ni vrai ni faux.

Dit plus précisément, si l'on note T la théorie dans laquel on exprime cette propriété A, alors si on élève A au rang d'axiome, T+A est non-contradictoire (ou cohérente), mais en même temps T+non(A) est aussi non-contradictoire.

Non contradictoire signifie que l'on ne peut prouver une contradiction à partir des axiomes de la théorie.

Bref, Mediat qui connaît mieux (bien mieux !) les deux théorèmes d'incomplétude poura être encore plus clair

[Gwyddon]

Si tu es intéressé par tout ça, je ne peux que te recommander de fouiller dans wikipedia à partir de la page sur le théorème de Gödel, tu y trouveras des liens sur la logique intuitionniste, le calcul propositionnel, les logiques d'ordre supérieur, etc...

[Médiat]

Envoyé par Gwyddon

Bref, Mediat qui connaît mieux (bien mieux !) les deux théorèmes d'incomplétude poura être encore plus clair

Je viens de lire l'article wikipedia sur les théorèmes d'incomplétudes de Gödel, les paragraphes "Enoncés des deux théorèmes" et "Les conditions d'application des théorèmes" sont très bien écrits et largement suffisants pour comprendre les bases de ces théorèmes. Pour ceux qui voudraient approfondir je conseille fortement la lecture du paragraphe "Vérité dans le modèle standard de l'arithmétique", en particulier la phrase :

Si dans une théorie un énoncé peut être indécidable, dans un modèle un énoncé est vrai ou faux, pas d'autre alternative

qui est fondamentale, et renvoie à d'autres discussions sur théorie/modèle, par exemple : Première supposition fausse en mathématiques.


En particulier, je me refuse à titre personnel à utiliser le vocabulaire de Jean Yves Girard qui parle d'énoncé "vrai mais pas prouvable" (mélange de théorie et de modèle), au lieu d'énoncé indécidable.

[jreeman]

Envoyé par Gwyddon

T+A est non-contradictoire (ou cohérente), mais en même temps T+non(A) est aussi non-contradictoire.

Bonjour,

il me semblait aussi avoir compris que dans toute théorie, on ne peut pas être sûr de tomber un jour sur une incohérence.

A ce moment là, il doit y avoir une subtilité (ou j'ai mal compris ce qui est fort probable aussi) car comment peut-on parler du caractère non-contradictoire d'une théorie s'il n'y a pas l'assurance de ne pas tomber un jour sur une incohérence ?

[Gwyddon]

Envoyé par jreeman

Bonjour,

il me semblait aussi avoir compris que dans toute théorie, on ne peut pas être sûr de tomber un jour sur une incohérence.

Hello,

Le théorème de Gödel d'une part ne s'applique qu'aux théories contenant l'arithmétique (ce qui fait déjà beaucoup), et d'autre part parle d'incomplétude et de non-décidabilité, pas d'incohérence au sens où tu l'entends.

Médiat a raison, les articles de wikipedia sont très instructifs, je t'invte à y jeter un oeil

[Médiat]

Envoyé par jreeman

il me semblait aussi avoir compris que dans toute théorie, on ne peut pas être sûr de tomber un jour sur une incohérence.

Je complète ce que viens de dire Gwyddon :
[Mode con*rie à 2 balles on]
(est-ce que cela démontre que Gwyddon ne contient pas l'arithmétique ? Ah non pas forcément, cela doit vouloir dire que Gwyddon n'est pas récursivement axiomatisable )
[/Mode con*rie à 2 balles off]

Le théorème de Gödel parle de l'incomplétude c'est à dire de la capacité à affirmer pour tous les énoncés d'une théorie s'il est ou non conséquence des axiomes de cette théorie. C'est à dire (avec un vocabulaire dangereux) la question est de savoir si il existe des énoncés "ni vrai ni faux".
L'incohérence veux dire qu'il existe un énoncé qui est "vrai et faux" ce qui est extrêmement différent (les théories incohérentes (je dis plus volontiers non consistantes) sont sans le moindre intérêt).

Certaines théories sont complètes, par exemple la théorie des ordres totaux denses et sans extrémums ; l'avantage de cet exemple est qu'il est très simple (l'ordre naturel sur ou par exemple) et que cette complétude est elle-même facile à démontrer, ce qui veut dire que tous les théorèmes du premier ordre démontrés pour (, <) sont aussi des théorèmes pour (, <), et vice versa. Il va de soi que ceci ne contredit pas le premier théorème de Gödel...

[jreeman]

Désolé pour ma question un peu bizarre mais ce n'est peut-être pas en relation avec Godel non plus. Je ne sais pas vraiment, mais j'ai déjà remarqué que plusieurs fois, les mathématiciens disent qu'il y a toujours une possibilité pour qu'une théorie soit inconsistante. Je ne vois pas bien à quoi ils font référence en disant cela.

[Rammstein43]

Y a pas un calcul qui permet de savoir a quelle fréquence apparaissent les nombres premiers ?

[Phys2]

Y a pas un calcul qui permet de savoir a quelle fréquence apparaissent les nombres premiers ?

Justement non, c'est l'un des plus grands problèmes mathématiques (l'un des sept problèmes du millénaire).

[erik]

On sait tout de même que les nombres premiers ne se répartissent pas n'importe comment.
Ainsi on peut démontrer que le nombre de nombres premiers inférieurs à n vaut approximativement

De même le nième nombre premier est approximativement égal à