Factorisation d'un polynôme dont je ne trouve pas de racine evidentes

lynx91 · 13/08/2007 - 10h38

Bonjour!
J'ai le polinôme du troisieme degre suivant a factoriser mais je ne trouve pas de racine evidentes: -x³+x²+x+1
Sans racine evidente je ne vois pas comment faire??!!
Merci de votre aide.
(je doit le factoriser afin de trouver par la suite la primitive d'une fonction dont le polinôme fait partie)

zinia · 13/08/2007 - 11h28

Si tu ne t'es pas trompé, ton polynome n'a qu'une seule racine réelle et deux complexes qui ne sont pas évidentes (1.83... pour la réelle)

erik · 13/08/2007 - 11h28

Salut, il n'y'a pas de racines évidentes, à mon avis il faut que tu trouves la primitive que tu cherches sans avoir à factoriser ce polynome.

Je te donne l'une des racines du polynome:
${{4\,\left({{\sqrt{3}\,i}\over {2}}-{{1}\over{2}}\right)}\over{9\, (3^ {- \frac{3}{2} }\,\sqrt{11}+\frac{19}{27})^{\ frac{1}{3}}}}+\left(3^ {- {{3}\over{2}} }\,\sqrt{11}+{{19}\over{27}} \right)^{{{1}\over{3}}}\,\left (-{{\sqrt{3}\,i}\over{2}}-{{1}\over{2 }}\right)+{{1}\over{3}}$

Ledescat · 13/08/2007 - 11h30

Bonjour.

En cherchant les possibilités évidentes (-2,-1,1,2) on ne trouve en effet rien. Une petite résolution numérique par la calculette te montre qu'il n'y a qu'une racine, loin d'être évidente.
Donc je crains que tu ne pourras trouver la racine de ton polynôme autrement que par dichotomie ou autre...

François

erik · 13/08/2007 - 11h34

Pour le plaisir voici la racine réelle :
$\left(3^ {- {{3}\over{2}} }\,\sqrt{11}+{{19}\over{27}} \right)^{{{1 }\over{3}}}+{{4}\over{9\,\left (3^ {- \frac{3}{2} }\,\sqrt{11}+\frac{19}{27} \right)^{\frac{1}{3}}}}+{{1} \over {3}}$

Merci au logiciel Maxima

Ledescat · 13/08/2007 - 11h36

Envoyé par erik

=
Je te donne l'une des racines du polynome:
${{4\,\left({{\sqrt{3}\,i}\over {2}}-{{1}\over{2}}\right)}\over{9\, (3^ {- \frac{3}{2} }\,\sqrt{11}+\frac{19}{27})^{\ frac{1}{3}}}}+\left(3^ {- {{3}\over{2}} }\,\sqrt{11}+{{19}\over{27}} \right)^{{{1}\over{3}}}\,\left (-{{\sqrt{3}\,i}\over{2}}-{{1}\over{2 }}\right)+{{1}\over{3}}$

Où est l'intéret dans la section collège/lycée ?

erik · 13/08/2007 - 11h45

En effet, je n'avait pas fait attention à l'age de l'intervenant, mais bon pour moi à priori quelqu'un qui cherche une primitive, connait les complexes.

Quand à donner les expressions des racines, et bien pourquoi pas ?

-Y'a t il des racines evidentes ?
-non, rien d'évident, puisque les racines sont ....
-Bon ok je vais chercher ma primitive d'une autre façon.

martini_bird · 13/08/2007 - 11h46

Salut,

Envoyé par Ledescat

Où est l'intéret dans la section collège/lycée ?

Bah, c'est pour l'esthétique !

Par contre je suis surpris de la forme de cette racine : on aurait pu s'attendre à quelque chose de plus sympa pour une sorte de généralisation du nombre d'or.

@ lynx91 : tu es sûr des calculs qui aboutissent à cette fonction (une fraction rationnelle ?) ? Il n'y aurait pas plus simple que de factoriser ?

Cordialement.

GuYem · 13/08/2007 - 11h48

Envoyé par lynx91

Bonjour!
J'ai le polinôme du troisieme degre suivant a factoriser mais je ne trouve pas de racine evidentes: -x³+x²+x+1
Sans racine evidente je ne vois pas comment faire??!!
Merci de votre aide.
(je doit le factoriser afin de trouver par la suite la primitive d'une fonction dont le polinôme fait partie)

COmme déjà dit, ton polynôme ne se factorise pas simplement.
Tu pourrais nous donner toute la fonction à primitiver ? Peut-être y-a-t-il des simplifications qui vont apparaitre.

Ledescat · 13/08/2007 - 11h51

Envoyé par martini_bird

Bah, c'est pour l'esthétique !

Personnellement les racines de polynômes de degré 3, je les trouve moches

. Mais c'est un jugement pûrement personnel !

martini_bird · 13/08/2007 - 11h57

Envoyé par Ledescat

Personnellement les racines de polynômes de degré 3, je les trouve moches

. Mais c'est un jugement pûrement personnel !

C'est parce que tu n'as pas encore fouiné dans les carnets de Ramanujan.

lynx91 · 13/08/2007 - 12h55

A vrai dire, je pense qu'il y a une erreur dans l'enonce parcequ' il devrait y avoir une ou plusieurs racines evidentes!!
Dans l'exo, on cherche a calculer l'integrale S(0 à 1) x³ / (-x³+x²+x+1) dx
Tous d'abord on nous dit qu' "Apres avoir factorisé le polynôme -x³+x²+x+1 , décomposer la fraction rationnelle (ci dessus) en elements simples" ; donc pour la decomposition en elements simples je pense que ca devrait aller mais pour la ''simple'' factorisation ca bloque

Ksilver · 13/08/2007 - 15h26

Salut !

ca ressemble a une faute de frape dans l'énoncé.

aussi bien la factorisation que la valeur de l'intégral sont horrible, alors que par exemple en enlevant le - du x^3 on a des chose sympatiques...

lynx91 · 13/08/2007 - 18h09

C'est tout a fait ce dont je pense, une erreur dans l'enonce parceque le sujet n'est pas hyper complique lorsque l'on connait le cours!
Merci a tout le monde pour l'aide que vous m'avez apporte.