base de Fourier et relation de fermeture

gatsu · 14/08/2007 - 16h05

Bonjour,

Je considère l'espace des fonctions périodiques définies sur $\mathbf{R}$ de période $L$ muni du produit hermitique :
$(f,g)=\frac{1}{L} \int_{-\frac{L}{2}}^{+\frac{L}{2}} f^*(x) g(x) dx$

Il me semble que pour que la base de fourier correspondante en soit une (base) il faut montrer la relation de fermeture :

$\frac{1}{L} \sum_{n\in\mathbf{Z}} e^{2i\pi \frac{n}{L} (x-\alpha)} = \delta(x-\alpha)$

le truc c'est que, autant avec les TF je vois comment faire le calcul autant là avec la série je suis un peu perdu.

Est ce que quelqu'un peut m'aider svp ?

gatsu · 16/08/2007 - 12h09

re-bonjour,

Personne pour m'aider est ce que vous voulez d'avantage de précisisons ?

labostyle · 16/08/2007 - 12h18

Envoyé par gatsu

re-bonjour,

Personne pour m'aider est ce que vous voulez d'avantage de précisisons ?

moi je veux bien

labostyle · 16/08/2007 - 12h21

si je comprend bien en partant de ta formule 1/L somme .... tu dois arriver a la fonction de dirac c'est bien ca

IceDL · 16/08/2007 - 12h26

Envoyé par gatsu

$\frac{1}{L} \sum_{n\in\mathbf{Z}} e^{2i\pi \frac{n}{L} (x-\alpha)} = \delta(x-\alpha)$

Salut,

Une possibilite pour prouver cette derniere egalite est de considerer avec x-a fixe la suite des sommes partielles, qui se calcule tres facilement (serie geometrique), et de montrer qu'elle converge au sens des distributions vers le dirac en x-a.

Cordialement,

gatsu · 16/08/2007 - 14h11

Envoyé par labostyle

si je comprend bien en partant de ta formule 1/L somme .... tu dois arriver a la fonction de dirac c'est bien ca

Oui c'est ça.

Envoyé par IceDL

Salut,

Une possibilite pour prouver cette derniere egalite est de considerer avec x-a fixe la suite des sommes partielles, qui se calcule tres facilement (serie geometrique), et de montrer qu'elle converge au sens des distributions vers le dirac en x-a.

Ouha je suis trop nul ! je n'y avais pas pensé...bon je vais voir ce que ça donne merci du tuyau !