Défi polynomial

[MMu]

Soit un polynôme de degré à variable et coefficients réels .
Montrer que si alors
See you ..

[Médiat]

Il me semble que le polynôme

vérifie bien
mais

D'ailleurs un polynôme n'est pas borné, non ?

Il y a sans doute quelque chose que je n'ai pas compris.

[MMu]

Désolé , il y a eu une une erreur de frappe et le terme n'a pas été pris en compte
Je corrige donc :
Soit un polynôme de degré à variable et coefficients réels .
Montrer que si alors

Peut être le modérateur voudra bien corriger Toutes mes excuses ..

[FonKy-]

MMu n'essaie pas de piégé Mediat tu vas te casser les dents

merci pour ton probleme

FonKy-

[FonKy-]

puis je suppose qu'il est en valeurs absolue le x^n

[Médiat]

Attention au cas "dégénéré" du polynome constant (n = 0), par exemple :
qui vérifie , mais pas

[MMu]

Merci pour les remarques de FonKy et Médiat
Mais quid d'une démo au problème

[Ledescat]

Merci pour les remarques de FonKy et Médiat
Mais quid d'une démo au problème

Tu n'as pas la réponse?

[MMu]

Tu n'as pas la réponse?

Rigolarem ! J'attends les lumières de Ledescat

[Ledescat]

Soit un polynôme de degré à variable et coefficients réels .
Montrer que si alors

Désolé de te dire ça, mais il doit manquer une valeur absolue quelque part .
Si tu prends P(x)=1/2.x, il vérifie la première condition.
Or, pour x<-1, |p(x)|>x

[milsabor]

puis je suppose qu'il est en valeurs absolue le x^n

Quant à moi je cherche mais j'ai un peu de mal...

[rvz]

Salut,

Vu le problème, je subodore qu'il faut utiliser quelque part les propriétés bien connues suivantes:

1/ Les polynômes de Tchebycheff sont ceux qui minimisent la norme L^infini(-1,1) parmi les polynômes unitaires de degré n.

2/ On en déduit par un argument un peu tordu (ok, c'est une manière peu élégante de dire que je ne me souviens pas de la preuve) que c'est aussi ceux qui maximisent
, pour x hors de (-1,1).

3/ On constate que 2^{n-1} est précisément le coefficient dominant du polynome de Tchebycheff de norme infinie 1.

Bref, je suis quasi sur qu'il fat chercher par là.
Bon courage,

PS: Pour une référence, je n'en connais pas. On m'avait donné cette propriété en cours, et je me souviens que ça m'avait pas mal étonné.
__
rvz

[FonKy-]

Désolé de te dire ça, mais il doit manquer une valeur absolue quelque part .
Si tu prends P(x)=1/2.x, il vérifie la première condition.
Or, pour x<-1, |p(x)|>x

tu as lu mon post #5 ? haha

FonKy-

[rvz]

PS: Pour une référence, je n'en connais pas. On m'avait donné cette propriété en cours, et je me souviens que ça m'avait pas mal étonné.

Je me complète : Le cours que j'avais suivi à l'époque est disponible sur le web à www.ann.jussieu.fr/~despres/BD_fichiers/almat.pdf

Le chapitre 2.7 doit receler à peu près tout ce dont on a besoin pour résoudre la question ici posée.

__
rvz