1-1+1 ... quel résultat ?

[Romain-des-Bois]

Bonjour à tous !

je m'adresse à vous pour vous poser une petite question

Si on considère la série :

Il est évident que cette série diverge : le terme général ne tend même pas vers 0, la série ne peut pas converger.
Ca, c'est ce qu'on voit en prépa (et en licence de maths j'imagine).

Seulement voilà mon prof de sup nous avait dit que "des gens" avaient décidé de donner un sens à en lui donnant la valeur pour la bonne raison que c'est la moyenne des valeurs prises par le terme général.

Dans un magazine, j'ai lu à peu près la même chose : "certains" ont décidé de lui donner la valeur pour la raison que je viens de donner mais aussi car si on applique la formule de la somme de la série géométrique de raison en faisant tendre vers -1, on trouve (pourtant on sait que cette formule n'est vraie que pour ).

Bon, je ne veux pas que ça tourne à la polémique (même si je sens que ...) J'ai l'impression que les matheux sont assez divisés sur ce point (pour mon prof de sup, ça semblait normal, pour mon prof de spé, c'était... horrible, il n'a pas eu envie d'en parler )

Qui sont ces gens qui ont eu l'idée de donner un sens à 1-1+1... ?
et y a-t-il quelque chose de plus général derrière ?

Merci beaucoup


Romain

[Romain-des-Bois]

Petite correction :

pour la bonne raison que c'est la moyenne des valeurs prises par le terme général.

Euh... C'est la moyenne des valeurs prises par la somme (elle prend successivement les valeurs 0 et 1) pas par le terme général (1 et -1)

Romain

[invite986312212]

salut,

tu devrais regarder du côté de la fonction Zeta de Riemann, et la question du prolongement analytique.
tu peux peut-être commencer ici:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio...Ata_de_Riemann

[Flanders]

Pour répondre à ta question, je crois qu'Euler est le premier à avoir donné à cette série la valeur un demi. Son raisonnement est celui-ci :

On note S la somme que l'on cherche à déterminer, on écrit alors :





En additionnant ces deux séries terme à terme, on obtient 2S=1, on en déduit la valeur cherchée. Bien entendu ce raisonnement n'est pas rigoureux mais il a le mérite d'être élégant, du Euler tout craché. Maintenant la notion générale qui se cache derrière est celle de série divergente. C'est un sujet assez fécond qu'Abel a été un des premiers à prendre en considération. Il dira d'ailleurs à leur propos :

Les séries divergentes sont une invention du diable et c’est une honte qu’on ose fonder sur elles la moindre démonstration. On peut tirer d’elles tout ce qu’on veut quand on les emploie et ce sont elles qui ont produit tant d’échecs et tant de paradoxes.


N'hésitez pas à me corriger si j'ai dit des bâtises.

[Romain-des-Bois]

salut,

tu devrais regarder du côté de la fonction Zeta de Riemann, et la question du prolongement analytique.
tu peux peut-être commencer ici:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio...Ata_de_Riemann

ouh la ! Beaucoup de choses dans ton lien... par où commencer ?

Pour répondre à ta question, je crois qu'Euler est le premier à avoir donné à cette série la valeur un demi. Son raisonnement est celui-ci :

On note S la somme que l'on cherche à déterminer, on écrit alors :





En additionnant ces deux séries terme à terme, on obtient 2S=1, on en déduit la valeur cherchée. Bien entendu ce raisonnement n'est pas rigoureux mais il a le mérite d'être élégant, du Euler tout craché.

OK, encore une idée d'Euler Je connaissais aussi cette "preuve" (ce raisonnement plutôt...).


Merci à tous les deux !
Je vais explorer le lien d'ambrosio


Romain

[Romain-des-Bois]

Re-

Finalement ambrosio, j'avais déjà vu quelques éléments sur la fonction zeta de Riemann... (notamment le calcul avec les nombres de Bernoulli) Ce qui m'intéresserait c'est pour (ce que tu dois appeler prolongement analytique).
Je vais regarder explorer plus en avant ton lien avant d'aller plus loin...

Romain

[Ksilver]

Salut !


le lien avec la fonction Zeta ce résume tres simplemet a :


si tu note e(s) = somme des (-1)^k/k^s

alors la limite de e(s) quand s tend vers 0 vaut (1/2)

or si on fait la limite terme a terme sans réflechir, on troue somme des (-1)^k (d'ou le lien avec ta série.)


ca marche pareil (mais beaucoup plus simple à justifier...) avec la somme des (-1)^k*x^k quand x->1....


enfait il y a plein de facon de prolonger la notion de convergence (on parle de convergence 'au sens de' ) pour des série divergente. (les trois procédé cité sont les plus connu je pense...)

[homotopie]

De manière plus simple mais en gardant la voie indiquée par Ambrosio, on considère la série entière , celle-ci a un rayon de convergence en 0 égal à 1 et sur le disque unité ouvert cette série est égale à . Vu la forme de cette dernière expression, il est clair que la fonction associée à cette série sur le disque se prolonge analytiquement sur C\{1} en la fonction . Or cette dernière fonction vaut 1/2 en x=-1.
Ce qui rend cette extension somme toute peu arbitraire est que le prolongement analytique d'une fonction à valeurs dans C (c'est à dire on a au départ f->C fonction analytique, une extension est une fonction g : D'->C où D' contient D analytique sur D' et coïncidant avec f sur D). est unique (dans le sens où si on a deux extensions analytiques g sur D et g' sur D' g et g' coïncide sur l'intersection de D et D'). Cette unicté implique qu'il existe un plus grand domaine pour les extensions possibles de f (ce domaine contient tous les domaines sur lesquels f peut se prolonger analytiquement). Ici, ce domaine D est égal à C\{1} car f s'étend à ce domaine donc D contient C\{1} mais il est impossible d'étendre à C car 1/(1-x) tend en module vers +inf quand x tend vers 1.
Maintenant, cela coïncide (sans que ce ne soit une "surprise") avec le fait que la série de terme général (-1)^n converge, en tant que suite, vers 1/2 dans le sens de Césaro (cela n'est que redire de manière plus rigoureuse et en donnant un cadre à cette convergence à "c'est la moyenne des valeurs prises par le terme général".

Quant à l'argument d'Euler il fait quand même partie des éléments dénoncés par Abel. Avec un argument du même type on a :
S'=1+1+1+....+1+...
S'=(1+1)+(1+1)+(1+1)+...
S'=2+2+2+...=2S'
donc S'=0
ou S'=2+2+2...=0+2+2+2
or 2S'=2+2+2+2
donc S'=2S'-S'=2
... comme le dit Abel on peut tout obtenir avec les séries divergentes avec ce genre de "jeu".
L'argument peut paraître élégant mais ce n'est pas ce que je garderais en mémoire d'Euler.

[Romain-des-Bois]

OK ! J'ai très bien compris

Merci à tous !



Romain