racines complexes d'un polynome à coeff réels...

[macros]

voilà l'intitulé d'un 'ti exo...
j'ai fait la démonstration seulement je ne suis pas certain de la démarche :

Soit P un polynome à coefficients réels. Démontrer l'implication suivante :

a appartenant à C (complexe) est racine de P => a barre (le conjugué de a) est racine de P.

voilà comment je m'y suis pris...

avec ~P : fonction polynome et ã : conjugué de a

a (appartenant à C) racine de P => ~P(a) = 0 => (X-a)*Q(X) = ~P(X)
<=> ~P(X) congru à 0 [X-a]

or (X-a)/(X-ã) = (x-(x+iy))/(x-(x-iy)) = (-iy)/(iy) = -1

d'ou (x-ã) diviseur de (x-a)

donc ~P(X) congru 0 [X-ã]
donc ã est racine de P

qu'est-ce que vous en pensez...
une question, quand P est une fonction polynome, est-ce que je peux remplacer X par x (x appartenant IR ) ?
je me demande si je n'ai pas confondu X avec x... si c'est le cas, est-ce que quelqu'un peu m'expliquer... merci

Macros
PS: bon appétit à tous !

[lolouki]

salut,
je n'ai pas trop regardé ta demonstration, il en existe une tres tres simple pour demontrer ce theoreme :

on a : a0 + a1*A + a2*A² + ... + an*A^n=0 maintenant on sait que le conjugué de 0 est 0, donc appliques le conjugué au terme de gauche et comme tous les coefficients sont reels tu vas obtenir que A barre est racine du polynome.

[Ledescat]

on a : a0 + a1*A + a2*A² + ... + an*A^n=0 maintenant on sait que le conjugué de 0 est 0

On sait aussi que le conjugué d'un réel a0 est a0, et que \(A^k)=(\A)^k

Je sais que tu le sais, mais j'apportais ces précisions pour la clarté .

[lolouki]

pas de probleme

[djerbianno]

votre demo est trop mauvaise car vous avez pris a=x+iy avec le meme x
prend a=m+in t'auras aucune raison de dire x-a div x-a bar

[donkishot]

Bonsoir,
Il y a plusieurs demostration... La tienne est tordue
Voila ma preferée :

Soit le polynome de degré n, et a une racine de P
En outre, le polynome s'ecrit de cette facon P(x) = Q(x) . ( pX²+qX+r) avec a une racine de ( pX²+qX+r) .
Donc si le discriminant est positif ou nul alors le a est réel et c'est le conjugué de lui meme, sinon si discriminant est negatif alors les deux solutions sont conjugués ( demontrable par la forme general des solutions d'un poly. de 2ème degré ) et donc a et a(barre ) sont deux solutions.
Qu'est ce que vous en pensez ? ca me parait logique