Puissance d'un nombre

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je me suis demandé il y a quelques temps ce que représentait exactement un nombre à la puissance n, avec n irrationnel...(Comme pi par exemple.)

Parce qu'on a pour n un entier naturel xⁿ = x.x.x...x n fois. Puis pour q un rationnel, on peut écrire .

Mais qu'en est-il pour un irrationnel ? Existe-t-il une expression générale qui exprime un nombre à une puissance quelconque ?

Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2

[chatelot16]

c'est simple il suffit de prendre une bonne machine a calculer ...

plus serieusement c'est grace aux logarithme que l'on peut multiplier 3.14 fois un nombre par lui meme

[Bloud]

Salut

Pour x réel :

.

Cordialement

[homotopie]

Bonjour à tous,

Je me suis demandé il y a quelques temps ce que représentait exactement un nombre à la puissance n, avec n irrationnel...(Comme pi par exemple.)

Parce qu'on a pour n un entier naturel xⁿ = x.x.x...x n fois. Puis pour q un rationnel, on peut écrire .

Mais qu'en est-il pour un irrationnel ? Existe-t-il une expression générale qui exprime un nombre à une puissance quelconque ?

Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2

Il existe une expression générale mais elle utilise deux fonctions que tu n'as, du moins je pense, jamais vu : l'exponentielle et le logarithme. Avec celle-ci, on a pour x>0 et y : x^y=e^yln(x) je ne crois pas que ça t'avance beaucoup.
Plus compréhensible : soit x un réel >1, y un réel quelconque, on a pour deux rationnels r<y<r' x^r<x^r', ceci incite à vouloir que xy soit entre ces deux valeurs mais y a-t-il un réel qui soit toujours entre les deux ? s'il existe est-il unique
Or si on fait tendre r en croissant vers y et r' en décroissant vers y, alors x^r tend en croissant vers une limite L, et x^r' tend en décroissant vers une limite L', et il se trouve que L=L'. La réponse à la question précédente est donc oui. (Ce n'est pas trivial).
x^y est cette limite commune L=L'.
Pour x=1, il n'y a pas de difficulté 1^y=1 pour tout y.
Pour 0<x<1, on a cette fois x^r'<x^r x^r tend en décroissant vers une limite L, x^r' tend en croissant vers une limite L'.
x^y est dans ce cas aussi cette limite commune L=L'.
Ceci vérifie les propriétés habituelles :
x^y+y'=x^y.x^y'
(xy)^z=x^z.y^z

[chatelot16]

le logarithme transforme l'adition en multiplication
log ( a x b ) = log a + log b

log 1 = 0
log 10 = 1
log 100 = 2

donc la fonction inverse de log x ressemble a 10^x

10⁰ = 1
10¹ = 10
10² = 100

donc
log ( a x b ) = log a + log b
peut s'ecrire
a x b = 10^{log a + log b}
le logarithme permet de faire des multiplication avec des addition : c'etais le principe des regles a calcul

ca va aussi servir a calculer des puissance avec une multiplication
x² = 10^{log x + log x}
x² = 10^{2 . log x}
x³ = 10^{3 . log x}
et puisque le logaritme existe pour les nombre reel on peut generaliser
xⁿ = 10^{n . log x}

les matheux aiment bien les logaritme neperien dont l'inverse n'est pas la puissance de 10 mais la puissance de e : le principe est le meme mais c'est moins facile a expliquer
a x b = e^{ln a + ln b}

[-Zweig-]

Je me suis demandé il y a quelques temps ce que représentait exactement un nombre à la puissance n, avec n irrationnel...(Comme pi par exemple.)

Un tel nombre s'appelle un nombre transcendant me semble-t-il, i.e, un nombre qui n'est solution d'aucune équation algébrique, comme pi ou e par exemple.

[homotopie]

Un tel nombre s'appelle un nombre transcendant me semble-t-il, i.e, un nombre qui n'est solution d'aucune équation algébrique, comme pi ou e par exemple.

Non nécessairement, Pour a=3^e, on a a^1/e=3 qui est un entier tout ce qui a de naturel, et pourtant e est irrationnel (en plus d'être transcendant).

[Seirios]

Il existe une expression générale mais elle utilise deux fonctions que tu n'as, du moins je pense, jamais vu : l'exponentielle et le logarithme. Avec celle-ci, on a pour x>0 et y : xy=eyln(x) je ne crois pas que ça t'avance beaucoup.

Ne t'en fais pas, je comprends parfaitement l'expression

On a donc , c'est bien ça ?

[Médiat]

e est irrationnel (en plus d'être transcendant).

Minuscule question de point de vue : j'aurais dit "e est transcendant (en plus d'être irrationnel)."

La formulation "e est irrationnel (en moins d'être transcendant)." sonnant bizarrement à l'oreille.

[homotopie]

Ne t'en fais pas, je comprends parfaitement l'expression

On a donc , c'est bien ça ?

c'est bien ça. Quoique pas très pratique comme formule.

Minuscule question de point de vue : j'aurais dit "e est transcendant (en plus d'être irrationnel)."

La formulation "e est irrationnel (en moins d'être transcendant)." sonnant bizarrement à l'oreille.
Aujourd'hui 17h45

Dire que j'ai mis la précision car dès que l'on écrit que e est irrationnel quelqu'un vient rappeler que e est aussi (en plus...) transcendant.
La prochaine fois j'essaie avec "e est irrationnel (et transcendant)"

[Seirios]

c'est bien ça. Quoique pas très pratique comme formule.

C'est vrai que ce n'est pas pratique, mais je voulais "voir" ce que représentait un réel à la puissance irrationnelle.

Merci

[natsuAIN]

Excusez moi je ne comprend pas vriment prenons un exemple un peu facile mais pas trop pour ne pas faire des 1^X=1 XD

exemple si on prend (1.2)^x=5 par exemple vous le ferez comment?(pour que je comprenne )

[natsuAIN]

PS T°stl que je suis

[Thorin]

C'est vrai que ce n'est pas pratique, mais je voulais "voir" ce que représentait un réel à la puissance irrationnelle.

Merci

Tu dis "voir" comme si tu parlais de ton intuition, mais dans ce cas, je suis fort étonné que ton intuition s'accommode si facilement de cette formule plus que barbare

Sinon, une autre manière de voir les choses est de considérer la puissance irrationnelle comme limite de suite de puissances rationnelles, puisque tout irrationnel est limite d'une suite de rationnels.

[Seirios]

exemple si on prend (1.2)^x=5 par exemple vous le ferez comment?(pour que je comprenne

Tu veux déterminer x ? Si c'est cela, il te faut mettre les deux membres de ton équation sous logarithme népérien, d'où [TEX] \ln (1,2)^x = 5 \leftrightarrow x. \ln (1,2) = 5[TEX], soit
Cela répond-il à ta question ?

Tu dis "voir" comme si tu parlais de ton intuition, mais dans ce cas, je suis fort étonné que ton intuition s'accommode si facilement de cette formule plus que barbare

Il faut être indulgent, je ne faisais que commencer ma Première


En faisant ressortir ce topic, une question me vient : qu'en est-il des puissances pour les nombres complexes ? Je pense plus particulièrement aux puissances fractionnaires ; quelle est la restriction sur n pour que , avec z un complexe quelconque, ait un sens ?