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Puissance d'un nombre

  1. Seirios

    Date d'inscription
    mai 2005
    Localisation
    Dans le plan complexe
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    9 810

    Puissance d'un nombre

    Bonjour à tous,

    Je me suis demandé il y a quelques temps ce que représentait exactement un nombre à la puissance n, avec n irrationnel...(Comme pi par exemple.)

    Parce qu'on a pour n un entier naturel xn = x.x.x...x n fois. Puis pour q un rationnel, on peut écrire .

    Mais qu'en est-il pour un irrationnel ? Existe-t-il une expression générale qui exprime un nombre à une puissance quelconque ?

    Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

    Merci d'avance
    Phys2


    Douter de tout ou tout croire, ce sont deux solutions qui nous dispensent de réfléchir.
     


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  2. chatelot16

    Date d'inscription
    juin 2007
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    angouleme france
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    10 509

    Re : Puissance d'un nombre

    c'est simple il suffit de prendre une bonne machine a calculer ...

    plus serieusement c'est grace aux logarithme que l'on peut multiplier 3.14 fois un nombre par lui meme
     

  3. Bloud

    Date d'inscription
    juillet 2005
    Localisation
    Paris
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    26
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    440

    Re : Puissance d'un nombre

    Salut

    Pour x réel :

    .

    Cordialement
    I was born intelligent...education ruined me!
     

  4. homotopie

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Localisation
    Lille
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    2 523

    Re : Puissance d'un nombre

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Bonjour à tous,

    Je me suis demandé il y a quelques temps ce que représentait exactement un nombre à la puissance n, avec n irrationnel...(Comme pi par exemple.)

    Parce qu'on a pour n un entier naturel xn = x.x.x...x n fois. Puis pour q un rationnel, on peut écrire .

    Mais qu'en est-il pour un irrationnel ? Existe-t-il une expression générale qui exprime un nombre à une puissance quelconque ?

    Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

    Merci d'avance
    Phys2
    Il existe une expression générale mais elle utilise deux fonctions que tu n'as, du moins je pense, jamais vu : l'exponentielle et le logarithme. Avec celle-ci, on a pour x>0 et y : xy=eyln(x) je ne crois pas que ça t'avance beaucoup.
    Plus compréhensible : soit x un réel >1, y un réel quelconque, on a pour deux rationnels r<y<r' xr<xr', ceci incite à vouloir que xy soit entre ces deux valeurs mais y a-t-il un réel qui soit toujours entre les deux ? s'il existe est-il unique
    Or si on fait tendre r en croissant vers y et r' en décroissant vers y, alors xr tend en croissant vers une limite L, et xr' tend en décroissant vers une limite L', et il se trouve que L=L'. La réponse à la question précédente est donc oui. (Ce n'est pas trivial).
    xy est cette limite commune L=L'.
    Pour x=1, il n'y a pas de difficulté 1y=1 pour tout y.
    Pour 0<x<1, on a cette fois xr'<xr xr tend en décroissant vers une limite L, xr' tend en croissant vers une limite L'.
    xy est dans ce cas aussi cette limite commune L=L'.
    Ceci vérifie les propriétés habituelles :
    xy+y'=xy.xy'
    (xy)z=xz.yz
     

  5. chatelot16

    Date d'inscription
    juin 2007
    Localisation
    angouleme france
    Âge
    55
    Messages
    10 509

    Re : Puissance d'un nombre

    le logarithme transforme l'adition en multiplication
    log ( a x b ) = log a + log b

    log 1 = 0
    log 10 = 1
    log 100 = 2

    donc la fonction inverse de log x ressemble a 10x

    100 = 1
    101 = 10
    102 = 100

    donc
    log ( a x b ) = log a + log b
    peut s'ecrire
    a x b = 10log a + log b
    le logarithme permet de faire des multiplication avec des addition : c'etais le principe des regles a calcul

    ca va aussi servir a calculer des puissance avec une multiplication
    x2 = 10log x + log x
    x2 = 102 . log x
    x3 = 103 . log x
    et puisque le logaritme existe pour les nombre reel on peut generaliser
    xn = 10n . log x

    les matheux aiment bien les logaritme neperien dont l'inverse n'est pas la puissance de 10 mais la puissance de e : le principe est le meme mais c'est moins facile a expliquer
    a x b = eln a + ln b
     


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  6. -Zweig-

    Date d'inscription
    septembre 2007
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    825

    Re : Puissance d'un nombre

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Je me suis demandé il y a quelques temps ce que représentait exactement un nombre à la puissance n, avec n irrationnel...(Comme pi par exemple.)
    Un tel nombre s'appelle un nombre transcendant me semble-t-il, i.e, un nombre qui n'est solution d'aucune équation algébrique, comme pi ou e par exemple.
     

  7. homotopie

    Date d'inscription
    janvier 2006
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    Lille
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    2 523

    Re : Puissance d'un nombre

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    Un tel nombre s'appelle un nombre transcendant me semble-t-il, i.e, un nombre qui n'est solution d'aucune équation algébrique, comme pi ou e par exemple.
    Non nécessairement, Pour a=3e, on a a1/e=3 qui est un entier tout ce qui a de naturel, et pourtant e est irrationnel (en plus d'être transcendant).
     

  8. Seirios

    Date d'inscription
    mai 2005
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    Dans le plan complexe
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    Re : Puissance d'un nombre

    Il existe une expression générale mais elle utilise deux fonctions que tu n'as, du moins je pense, jamais vu : l'exponentielle et le logarithme. Avec celle-ci, on a pour x>0 et y : xy=eyln(x) je ne crois pas que ça t'avance beaucoup.
    Ne t'en fais pas, je comprends parfaitement l'expression

    On a donc , c'est bien ça ?
    Douter de tout ou tout croire, ce sont deux solutions qui nous dispensent de réfléchir.
     

  9. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Re : Puissance d'un nombre

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    e est irrationnel (en plus d'être transcendant).
    Minuscule question de point de vue : j'aurais dit "e est transcendant (en plus d'être irrationnel)."

    La formulation "e est irrationnel (en moins d'être transcendant)." sonnant bizarrement à l'oreille.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  10. homotopie

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Localisation
    Lille
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    Re : Puissance d'un nombre

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Ne t'en fais pas, je comprends parfaitement l'expression

    On a donc , c'est bien ça ?
    c'est bien ça. Quoique pas très pratique comme formule.

    Citation Envoyé par Médiat
    Minuscule question de point de vue : j'aurais dit "e est transcendant (en plus d'être irrationnel)."

    La formulation "e est irrationnel (en moins d'être transcendant)." sonnant bizarrement à l'oreille.
    Aujourd'hui 17h45
    Dire que j'ai mis la précision car dès que l'on écrit que e est irrationnel quelqu'un vient rappeler que e est aussi (en plus...) transcendant.
    La prochaine fois j'essaie avec "e est irrationnel (et transcendant)"
    Dernière modification par homotopie ; 29/09/2007 à 19h09. Motif: élimination d'un doublon
     

  11. Seirios

    Date d'inscription
    mai 2005
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    Dans le plan complexe
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    23
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    9 810

    Re : Puissance d'un nombre

    c'est bien ça. Quoique pas très pratique comme formule.
    C'est vrai que ce n'est pas pratique, mais je voulais "voir" ce que représentait un réel à la puissance irrationnelle.

    Merci
    Douter de tout ou tout croire, ce sont deux solutions qui nous dispensent de réfléchir.
     

  12. natsuAIN

    Date d'inscription
    janvier 2009
    Messages
    5

    Re : Puissance d'un nombre

    Excusez moi je ne comprend pas vriment prenons un exemple un peu facile mais pas trop pour ne pas faire des 1^X=1 XD

    exemple si on prend (1.2)^x=5 par exemple vous le ferez comment?(pour que je comprenne )
     

  13. natsuAIN

    Date d'inscription
    janvier 2009
    Messages
    5

    Re : Puissance d'un nombre

    PS T°stl que je suis
     

  14. Thorin

    Date d'inscription
    mars 2006
    Âge
    25
    Messages
    2 613

    Re : Puissance d'un nombre

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    C'est vrai que ce n'est pas pratique, mais je voulais "voir" ce que représentait un réel à la puissance irrationnelle.

    Merci
    Tu dis "voir" comme si tu parlais de ton intuition, mais dans ce cas, je suis fort étonné que ton intuition s'accommode si facilement de cette formule plus que barbare

    Sinon, une autre manière de voir les choses est de considérer la puissance irrationnelle comme limite de suite de puissances rationnelles, puisque tout irrationnel est limite d'une suite de rationnels.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale
     

  15. Seirios

    Date d'inscription
    mai 2005
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    Dans le plan complexe
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    23
    Messages
    9 810

    Re : Puissance d'un nombre

    Citation Envoyé par natsuAIN
    exemple si on prend (1.2)^x=5 par exemple vous le ferez comment?(pour que je comprenne
    Tu veux déterminer x ? Si c'est cela, il te faut mettre les deux membres de ton équation sous logarithme népérien, d'où [TEX] \ln (1,2)^x = 5 \leftrightarrow x. \ln (1,2) = 5[TEX], soit
    Cela répond-il à ta question ?

    Citation Envoyé par Thorin
    Tu dis "voir" comme si tu parlais de ton intuition, mais dans ce cas, je suis fort étonné que ton intuition s'accommode si facilement de cette formule plus que barbare
    Il faut être indulgent, je ne faisais que commencer ma Première


    En faisant ressortir ce topic, une question me vient : qu'en est-il des puissances pour les nombres complexes ? Je pense plus particulièrement aux puissances fractionnaires ; quelle est la restriction sur n pour que , avec z un complexe quelconque, ait un sens ?
    Douter de tout ou tout croire, ce sont deux solutions qui nous dispensent de réfléchir.
     


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