Probleme de mathématiques

[jitou]

Salut,pouvez vous m'aider pour cet exercice SVP:
ABCD est un rectangle de cotés a et 2a (a>0).Les points M,N,P,et Q sont respectivement sur les cotés [AB],[BC],[DC] et [AD].De plus AM=BN=CP=DQ.
Déterminer la position du point M sur [AB] pour que l'aire du quadrilatere MNPQ soit minimale.
Merci d'avance.

[yat]

Pose x=AM et détermine l'aire de MNPQ en fonction de x

[Flyingsquirrel]

Salut

Moi, je viens de trouver comme expression de l'aire de MNPQ( A(MNPQ)):
A(MNPQ)=A(ABCD)/2 donc quelque soit la position du point M l'aire de MNPQ est constante (elle ne depend que de a). Ca me parait bizarre mais bon, si il y a une erreur dans mon raisonnement je ne l'ai pas trouvé.
Pour en arriver là, exprime l'aire de MNPQ en fonction des quatre triangles MOQ, MON, NOC et POQ ( O étant le centre du rectangle)
puis exprime tout ca en fonction de a et normalement tu devrais trouver la meme chose que moi.Voila...

@++

[yat]

Hum... FlyingSquirrel, tu devrais faire un schéma.

[jitou]

Merci beaucoup,je vais essayer vos raisonnements et je vais les comparer a ce que j'avais fait,ça va m'aider.

[yat]

Si je peux me permettre, la méthode de FlyingSquirrel complique artificiellement les choses, et muliplie les chances de se planter. La preuve : Il s'est planté (Il est évident que si AM=0, le quadrilatère MNPQ a la même aire que ABCD, alors que sa surface sera plus petite dans tous les autres cas).

Si tu veux un conseil pour calculer l'aire, considère plutôt les aires des quatres triangles que l'on enlève au rectangle ABCD (AMQ et les autres).

[jitou]

Ca correspond à ce que j'ai fait,moi aussi je trouvais une erreur dans le raisonnement de FlyingSquirrel néanmoins merci de m'avoir répondu.Pour 1 aire de MNPQ minimale je trouve que AM est egale à "a".

[shokin]

A=2a^2-AM(2a-AM)-AM(a-AM) avec 0<AM=<a

f(x)=2a^2-2ax+x^2-ax+x^2
f(x)=2x^2-3ax+2a^2 avec a constante.

Trouver le minimum de cette fonction (avec sa dérivée)...

Shokin

[Flyingsquirrel]

Salut

Effectivement, comme beaucoup d'entre vous l'ont remarqué, mon raisonnment etait faux il fallait exprimer l'aire de MNPQ sous la forme Aire ABCD - aire des triangles n'appartenant pas a MNPQ. En exprimant ceci en fonction de x on obtient la formule donnée par Shokin. Désolé d'avoir donné une fausse piste (qui en plus etait compliquée !)....

[jitou]

S.O.S.J'ai un nouveau problème:je trouve aire de MNPQ=2a²-3ax+2x² mais pour x=a et x=0,5a j'obtient une meme valeur a² (soit l'aire de (ABCD)/2 comme le trouvait FlyingSquirrel).Je ne comprend pas pourquoi je trouve le meme résultat pour ces 2 valeurs de x differentes.Laquelle est la bonne? est ce que j'ai fait une erreur?Répondez moi SVP

[Flyingsquirrel]

Salut

Je ne pense pas qu'il y ai un probleme: rien n'interdit A(MNPQ) = A(ABCD) / 2 et de toute facon ton equation est bonne seulement, aucune de ces deux valeurs n'est le minimum de la fonction (perso j'ai trouvé le minimum en x=(3/4)a )

@+

[jitou]

Mais comment on fait pour trouver les valeurs minimums d'une fonction?

[Flyingsquirrel]

Pour trouver le minimum d'une fonction:
1) caluler la fonction derivée de cette fonction
2) etudier le signe de la fonction derivée:
-dérivée positive sur un intervalle alors la fonction est croissante sur ce meme intervalle
-dérivée negative sur un intervalle alors la fonction est décroissante sur cet intervalle
-derivée nulle sur un intervalle alors la fonction est constante sur ce meme intervalle

A partir de cela tu peux en deduire les minimums et maximums, lorsqu'ils existent.

[jitou]

J'ai pas encore appris les fonctions derivées,vous connaissez pas une autre façon pour trouver les valeurs minimales de la fonction SVP

[invite43219988]

Le minimum (ou max d'une fonction) est en x=-b/(2a)

On le trouve en calculant (x1+x2)/2 où x1 et x2 sont les solutions de ton polynome du second degré.
Fais un schéma et tu verras.