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1+x<=exp(x)

  1. necco

    Date d'inscription
    novembre 2007
    Messages
    63

    1+x<=exp(x)

    Bonjours à tous, je sèche sur cette démonstration, pourriez-vous m'aider ?

    1+x<=exp(x)
    Merci beaucoup


     


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  2. Jeanpaul

    Date d'inscription
    novembre 2003
    Localisation
    Banlieue parisienne
    Messages
    10 539

    Re : 1+x<=exp(x)

    Etudie la fonction exp(x) - x - 1
     

  3. necco

    Date d'inscription
    novembre 2007
    Messages
    63

    Re : 1+x<=exp(x)

    Merci, ça marche très bien.
    Je dois aussi montrer que Pn(a)=(1+a)(1+a²)...(1+a^n) est une fonction croissante, a>0 et n dans N*
    Une idée ? Mercu beaucoup
     

  4. Jeanpaul

    Date d'inscription
    novembre 2003
    Localisation
    Banlieue parisienne
    Messages
    10 539

    Re : 1+x<=exp(x)

    Ben calcule la dérivée ! C'est une somme de n termes tous positifs.
     

  5. necco

    Date d'inscription
    novembre 2007
    Messages
    63

    Re : 1+x<=exp(x)

    ce n'est pas évident à dériver, ce n'est a+a²+...+a^n, c'est un peu plus compliquer. Avez-vous une technique particulière pour dérivée ce produit ou cette somme ? Merci
     


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  6. kaiswalayla

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    239

    Re : 1+x<=exp(x)

    oui c'est plus compliqué, il y a une formule de dérivation (dite de Leibnitz je crois) identique à la formule de binôme.

    Sinon tu peux éviter la dérivation en utilisant le fait suivant
    si 0<x<y et si 0<z<t, alors xz<yt

    tu peux appliquer ça pour montrer P(a) < P(b) si on suppose a < b.
    Ainsi du théorème: il perd sens et logique quand un mot fait défaut lui ôtant sa valeur
     

  7. necco

    Date d'inscription
    novembre 2007
    Messages
    63

    Re : 1+x<=exp(x)

    Merci, je vais essayer. Après je dois montrer que Pn(a)<exp[a*(1-a^n)/(1-a)]
    or on a montrer que exp(x)=>x+1, d'où exp(x)>x
    on en déduit qu'il suffit de montrer que Pn(a)<a*(1-a^n)/(1-a)
    ce qui ressemble beaucoup a la somme de produit ... Il se peut que la formule de leibniz m'aide ?
     

  8. kaiswalayla

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    239

    Re : 1+x<=exp(x)

    Une autre méthode consiste à dériver et montrer que c'est positif.

    et comme on a le résultat.
     

  9. necco

    Date d'inscription
    novembre 2007
    Messages
    63

    Re : 1+x<=exp(x)

    Mais on a encore le problème de la dérivée non ?
     

  10. Jeanpaul

    Date d'inscription
    novembre 2003
    Localisation
    Banlieue parisienne
    Messages
    10 539

    Re : 1+x<=exp(x)

    Compliqué tout ça !
    La dérivée, c'est la dérivée d'un produit :
    P'(a) = (1 + a²)..(1+a^n) + 2a (1+a)..(1+a^n) + ...
    et tout est positif.
     

  11. kaiswalayla

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    239

    Re : 1+x<=exp(x)

    Je ne sais pas s'il y a olus simple
    Comme on a

    Tu aplliques ça à puis tu utilises la somme des termes d'une suite géométrique.
     

  12. kaiswalayla

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    239

    Re : 1+x<=exp(x)

    Citation Envoyé par necco Voir le message
    Mais on a encore le problème de la dérivée non ?
    non puisqu'on dérivera une somme au lieu d'un produit.
     

  13. necco

    Date d'inscription
    novembre 2007
    Messages
    63

    Re : 1+x<=exp(x)

    Merci pour votre aide !
     

  14. kaiswalayla

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    239

    Re : 1+x<=exp(x)

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Compliqué tout ça !
    La dérivée, c'est la dérivée d'un produit :
    P'(a) = (1 + a²)..(1+a^n) + 2a (1+a)..(1+a^n) + ...
    et tout est positif.
    Non c'est plus compliqué je crois que ça, exemple:

    (uvw)'=2u'v'w+2u'vw'+2uv'w'+u" vw+uv"w+uvw"
     

  15. Jeanpaul

    Date d'inscription
    novembre 2003
    Localisation
    Banlieue parisienne
    Messages
    10 539

    Re : 1+x<=exp(x)

    Pourquoi faire intervenir des dérivées secondes ? On en est à la dérivée première, non ?
     


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