Fonction continue et Lebesgue

lolo34140 · 08/11/2007 - 15h46

Bonjour à tous!!

Voila j'ai un souci de comprehension des termes C°, C^n, C par morceau... en bref je sais que cela signifie qu'une fonction est continue mais je ne sais pas comment le prouver, si l'on me donne une fonction. Pour les fonctions appartenant à Lebesgue j ai encore plus de difficulté. Le problème c'est que j ai fait un iut avant d'intégrer un école d'ingénieur et que toutes les explications que j'ai pu trouver à ce sujet utilise un jargon mathématique incomprehensible pour moi. De ce fait j ai beaucoup de mal à choisir des formules qui dépendent des condition de continuité et autres comme par exemple dans les transformées de Fourier( pour choisir entre les deux formules de dérivée des transformées de fourier).

J espere que vous serais m'aider. merci

heperion · 09/11/2007 - 15h36

C°,C^n....ça s'appele des classes.Ca donne le nombre de derivation possible en gros.
C° c'est une fonction continue derivable o fois.

C^infini: des fonctions de classes infinis c'est des fonction qu'on peut deriver sans s'arreter (ex:exp,ln,cos,sin....attentio n il sont derivables sur leurs ensemble de definition).

Une fonction de classe C^n est derivable n fois.

ex: soit f(x) une fonction de classe C² alors f''(x)=0

ex:f(x)=x²+x+1 est de classe C²; definit sur R
f'(x)=2x+1
f''(x)=2

Theyggdrazil · 09/11/2007 - 15h54

Envoyé par heperion

soit f(x) une fonction de classe C² alors f''(x)=0

OHLA camarade !

Tu as failli me faire avoir une attaque malgré mon âge !

Etre de classe $C^{2}$ ne signifie absolument pas avoir une dérivée seconde nulle !

L'exponentielle est de classe $C^{2}$ ... Elle est de classe $C^{\infty}$ , ce qui signifie par définition qu'elle est de classe $C^{k}$ pour tout $k$ entier, donc en particulier de classe $C^{2}$ ... et pourtant sa dérivée seconde est tout sauf nulle

Etre de classe $C^{n}$ signifie être n fois dérivable et de dérivée n-ième continue.

Une fonction de classe $C^{0}$ est tout bêtement continue.
Une fonction de classe $C^{1}$ est dérivable (donc continue) et sa dérivée $f'$ est continue.
Et ainsi de suite.

Ensuite quand on dit "par morceaux", cela signifie qu'on peut "découper" l'intervalle de définition de ta fonction en morceaux sur chacun desquels ta fonction est continue, de classe $C^{n}$ , etc

Theyggdrazil · 09/11/2007 - 16h20

Je vais compléter un peu ma réponse, sous forme de cours pour que vous compreniez bien. Je suppose que vous savez ce qu'est exactement une fonction continue, et que vous savez ce que signifie exactement "être dérivable sur un intervalle", en restant bien sûr dans le cadre de fonctions à valeurs réelles.

Définition 1: Une fonction $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ est dite de classe $C^{0}$ sur $I$ si elle est continue sur $I$ .

Définition 2: Soit $k \in \mathbb{N}^{*}$ . Une fonction $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ est dite de classe $C^{k}$ sur $I$ si elle est $k$ fois dérivable sur $I$ et si sa dérivée $k$ -ième est continue sur $I$ . En particulier, toutes les "dérivées intermédiaires" (c'est-à-dire les $f^{(p)}$ pour $p < k$ ) sont elles-même continues sur $I$ , puisqu'elles sont dérivables.

Définition 3: Une fonction $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ est dite de classe $C^{\infty}$ sur $I$ si pour n'importe quel $k \in \mathbb{N}$ , elle est de classe $C^{k}$ sur $I$ .

Remarque : Une fonction de classe $C^{k}$ est également de classe $C^{p}$ pour tout $p \leq k$ .

Définition 4: Soit $I=[a,b[$ un intervalle de $\mathbb{R}$ . On appelle subdivision de $I$ toute réunion d'intervalles de la forme $[x_{i},x_{i+1}[$ pour $i=1,...,n$ et avec $x_{0}=a$ , $x_{n}=b$ et $a=x_{0} \leq x_{1} \leq ... \leq x_{n}=b$ .

Remarque : On peut prendre un intervalle $I$ fermé, ouvert, semi-ouvert, etc dans la définition, il n'y a pas grand chose à changer par la suite.

Définition 5: Soit $k \in \mathbb{N}$ . Une fonction $f: I \longrightarrow \mathbb{R}$ est dite de classe $C^{k}$ par morceaux sur $I$ si il existe une subdivision de $I$ pour laquelle $f$ est de classe $C^{k}$ sur chacun des sous-intervalles constituant la subdivision.

En fait, tu trouveras parfois des fonctions qui sont continues "partout" sauf en un point (on dit qu'elle est continue presque partout en théorie de la mesure), ou de classe $C^{k}$ presque partout sur un intervalle. En fait, dans ces cas-là on dit que la fonction est continue ou de classe $C^{k}$ par morceaux, puisqu'elle l'est sur chacun des morceaux d'intervalles ne contenant pas le point "défaillant".

J'espère que ce que j'ai tapé est clair (et sans faute

).

Theyggdrazil · 09/11/2007 - 16h25

Ensuite, quand tu parles de fonction "appartenant à Lebesgue" (aurait-il déposé un brevet sur certaines fonctions ?

), je suppose que tu parles de fonctions $f \in L^{1}$ , c'est-à-dire de fonctions Lebesgue-intégrables ?

Si c'est le cas alors ça n'est pas compliqué non plus, à condition que tu saches ce qu'est une fonction mesurable ?

Une fonction Lebesgue-intégrable est une fonction mesurable dont l'intégrale de la valeur absolue sur l'ensemble de définition est finie (ne diverge pas donc).

Si tu n'as pas vu ce qu'est une fonction mesurable, alors à mon avis il faut que tu revois ton cours et les différents critères d'intégrabilité que votre prof a dû vous donner

EDIT : Dans le message du dessus, il faut lire $i=0,...,n$ au lieu de $i=1,...,n$

homotopie · 09/11/2007 - 17h08

Envoyé par lolo34140

en bref je sais que cela signifie qu'une fonction est continue mais je ne sais pas comment le prouver, si l'on me donne une fonction.

Je vais compléter un peu sur cet aspect.
Pour une grande catégorie de fonctions, il suffit de décortiquer les fonctions grace aux théorèmes suivants (I est un intervalle ouvert)
a) si f et g sont continues sur I f+g est continue sur I (s'étend aucas de plusieurs fonctions)
b) si f et g sont continues sur I fg est continue sur I
c) si f est continue sur I et ne s'y annule pas 1/f est continue sur I
Conséquence de b) et c) g/f est continue si f et g le sont et si f ne s'annule pas
d) si f est continue sur I g continue sur J avec f(I) inclus dans I alors gof est continue
d) les fonctions suivantes sont continues sur R : les polynômes (en particulier les constantes), exp, cosinus, sinus
e) ln est continue sur ]0,+infini[ (conséquence qu'elle est une primitive de la fonction inverse qui est continue)
f) les fonctions puisances sont continues sur [0,+infini[
tangente est continue sur les intervalles sur lesquelles elle ne s'annule pas (conséquence de d), c) et de b))
les fonctions hyperboliques sont continues : conséquence de de d), a), c) et b)
Les fractions rationnelles sont continues sur les intervalles où le dénominateur ne s'annule pas

Maintenant quand certaines fonctions ne s'y ramènent pas.
Pour certaines comme par exemple f(x)=xsin(1/x²) sur R\{0} et f(0)=0 juste un ou plusieurs points isolés posent problème.
Ici, on dit que x->1/x² est une fraction rationnelle donc continue sur I=]-infini,0[ et I'=]0,+infini[
sinus est continue sur R donc par composée sin(1/x²) est continue sur I et sur I'
x->x est continue et par produit f est continue sur I et I'
Il reste la question de x=0. Là il faut utiliser les limites il faut montrer que f(x)->0 quand x tend vers 0.
Or pour tout x non nul, on a -1<=sin(1/x²)<=1 donc lin(1/x²)l<=1 et lxsin(1/x²)l<=lxl, et comme c'est vrai aussi en 0 on a pour tout x lf(xl<=lxl. Donc quand x tend vers 0 lxl tend vers 0, donc lf(x)l tend vers 0 donc f(x) tend vers 0. f est donc continue en 0.
Par contre g(x)=sin(1/x²) (g(0)=0) ne l'est pas sur R (selon la manière de tendre vers 0 on peut avoir des limites différentes ou ps de limite du tout).