Primitive et intégration par partie.

Tomtom · 31/10/2004 - 15h29

Salut à tous,

Je suis devant un exercice où je cherche une primitive sur IR*+ de g(x) = (x*ln(x))/((1+x²)²).
Je dois procéder par intégration par partie, j'ai bien reconnu que x/((1+x²)²) est intégrable sur IR*+ et donnne (-1/2)*(1/(1+x²)) et la dérivée de Ln x est 1/x.
Ensuite je suis bloqué, je dois calculer la primitive de (1/x)*(-1/2)*(1/(1+x²)) je ne vois pas comment faire.
Sans forcément me résoudre l'exo pourriez vous me donner une piste pour repartir.
Merci de m'aider et bonne soirée.

invite43219988 · 31/10/2004 - 15h36

Je ne suis pas certain que tu aies bien compris le sens de l'intégrale.
Calculer l'intégrale d'une fonction, c'est calculer sa primitive.
Pour l'IPP, il faut écrire :

$\int u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)] - \int u'(x)v(x) dx$
Le tout est de bien choisir ce que valent u(x) et v'(x)

Coincoin · 31/10/2004 - 15h41

Salut,

(1/x)*(-1/2)*(1/(1+x²))

Le plus simple reste la réduction en éléments simples pour transformer ton produit en somme de trucs d'intégrale connue : tu écris que $\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{1+x^2-x^2}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}$ Ensuite, tu sais (normalement) intégrer...

Coincoin · 31/10/2004 - 15h42

Ganash a peut-être raison, je n'ai pas vérifié ta 1ère IPP...

invite43219988 · 31/10/2004 - 15h51

Si c'est bon ce que tu as dit Coincoin, je n'avais pas compris ce que TomTom voulait dire.

Tomtom · 31/10/2004 - 16h01

Merci pour vos conseils,

Ganash j'avais choisi u(x)=Ln x
v'(x)=(-1/2)*(1/(1+x²))
pour ma 1ère IPP.

amidesanimo · 07/05/2006 - 13h07

bonjour

j dois procéder à une intégration par partie pour calculer : l'intégrale de ((1/82)x*(e(-x/82)))
c super compliqué et si vs pouviez m'aider stp ...
esk vous savez lintégrale de (e(-1/82)) aussi ?
tenez moi o courant svp le + vite possible à l'adresse :
#####
merci d'avance

invite43219988 · 07/05/2006 - 13h44

Bonjour.
Lorsque tu dois intégrer une expression de la forme :
P(x)*f(x)
Où P(x) est un polynôme de degré pas trop grand de préférence (au delà de 4 ça fait beaucoup) et f une fonction dont tu connais une primitive.
Alors tu dois toujours faire une Intégration Par Partie de manière à baisser le degré de ton polynôme.
Ici, tu dois donc choisir
u=P(x) u'=P'(x)
v'=f(x) v=une primitive de f(x)

L'avantage est qu'après ton intégration par partie, ton polynôme va devenir une constante qui ne te dérangera plus !

Amethyste · 07/05/2006 - 14h08

on peut aussi ajouter que parfois plusieurs intégrations par parties sont nécessaires!

Max42 · 11/03/2008 - 19h10

Envoyé par Ganash

Je ne suis pas certain que tu aies bien compris le sens de l'intégrale.
Calculer l'intégrale d'une fonction, c'est calculer sa primitive.
Pour l'IPP, il faut écrire :

$\int u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)] - \int u'(x)v(x) dx$
Le tout est de bien choisir ce que valent u(x) et v'(x)

Voila pr ma part mon integrale

$\int ln (x) / racine(x)$ de 1 a exp 2

Je pose u(x) = ln (x) sa derivée etant 1/x et v'(x) etant racine de x cependant je ne trouve pas sa primitive ... je dois etre un peu bete parce que ca doit etre simple, par ailleurs comment faire ensuite ? Utiliser la formule citée par Ganash meme si ma fonction est 1 quotient ?

invite43219988 · 11/03/2008 - 19h49

Il ne faut pas faire d'IPP ici.
Je te conseille de faire le changement de variable u=racine(x) (reste à calculer du et à modifier les bornes), de te rappeller de la formule ln(u²)=2ln(u) et du fait que xln(x)-x est une primitive de ln(x).
Avec ça, tu as tout

God's Breath · 11/03/2008 - 20h03

Envoyé par Max42

v'(x) etant racine de x cependant je ne trouve pas sa primitive ...

Étant donné que $\sqrt x = x^{1/2}$ une (pas sa) primitive en est $\frac{2}{3}x^{3/2} = \frac{2}{3}x\sqrt x$ ...

Max42 · 11/03/2008 - 20h11

Ouais j'ai fait une IPP en partant du fait que c'etait ln (x) x 1/racine x

ce qui me permet de trouver, cependant je bloque dans l'integrale de l'IPP $\int u'(x) v(x)$ je ne trouve pas la primitive de ce bloc pr resoudre apres ... peut etre pas necessaire de faire une IPP c'est vrai mais bon !

God's Breath · 11/03/2008 - 20h29

Envoyé par Max42

Ouais j'ai fait une IPP en partant du fait que c'etait ln (x) x 1/racine x

ce qui me permet de trouver, cependant je bloque dans l'integrale de l'IPP $\int u'(x) v(x)$ je ne trouve pas la primitive de ce bloc pr resoudre apres ... peut etre pas necessaire de faire une IPP c'est vrai mais bon !

$\int \frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx$ est de la forme $\int u(x)v'(x)\,dx$ avec
– $u(x) = \ln x$ , donc $u'(x) = \frac{1}{x}$ ;
– $v'(x) = \frac{1}{\sqrt x}$ , donc $v(x) = 2\sqrt x$ .

L'intégration par parties fournit :
$\int \frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx = 2\sqrt x \ln x - \int \frac{2}{\sqrt x}\,dx = 2\sqrt x \ln x - 4 \sqrt x + C^{te}$

invite43219988 · 11/03/2008 - 20h34

Au passage, si tu tiens vraiment à faire ton IPP, $u(x)v'(x)=ln(x) \sqrt{x}$ d'après tes notations, ce qui n'est pas l'intégrale à calculer...

Sinon tu veux calculer :

$\int_1^{e^2} \frac{ln(x)}{\sqrt{x}} dx$
On pose $u=\sqrt{x}$ , donc $du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$
Donc $x=u^2$ et $dx=2udu$
On remplace :

$\int_1^{e^2} \frac{ln(x)}{\sqrt{x}} dx=\int_1^e\frac{ln(u^2)}{u}2u du=\int_1^e 4ln(u)du=4[ulnu-u]_1^e=4$ à erreurs de calcul près !

Primitive et intégration par partie.

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intégration par parties

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