Etude dans Z^3 de l'équation x²+y²=z²

[sandalk]

Bonsoir j'aurais besoin d'aide pour quelques questions de mon exo, je vous mets l'énoncé ci-dessous. Comme il est assez long je vous mets ????? à côté des numéros des questions que je ne suis pas arrivée à résoudre.

je vous remercie d'avance pour votre aide

énoncé: soit (E) l'équation : x²+y²=z²
On note S l'ensemble des triplets (x,y,z) de Z²xN, solution de (E) tels que y soit pair et tel qu'il n'existe pas d'entier naturel autre que 1 divisant x,y et z (ce qui s'écrit x^y^z=1).
On note S' l'ensemble des triplets de la forme (u²-v²,2uv,u²+v²) lorsue (u,v) parcourt Z² en vérifiant u^v=1 et 2/(u+v+1)

I)1) Soit x ds Z. Montrer que si x est pair alors 4/x² et que si x est impair 4/x²-1
2) soit(x,y,z) ds Z^3 une solution de (E). En utilisant la question précédente, montrer que x et y ne peuvent pas être tous les deux impairs.En déduire que si (x,y,z) S, x est impair.

II) on veut montrer que S' est inclus ds S
1) Soit (u,v) ds Z² tel que u^v=1. Montrer que u²^v²=1.
2)Soit n un entier naturel divisant u²-v² et u²+v². Montrer qu'alors n divise 2u² et 2v².
3) En déduire que les seuls entiers naturels qui divisent u²-v² et u²+v² sont 1 et 2.
4) Soit (u,v) S'. En utilisant que 2/(u+v+1), montrer que u et v ne peuvent pas être tous deux impairs ou tous deux pairs.
5) ??????? En déduiren utilisant la question I)1), qu'en fait (u²-v²)^(u²+v²)=1.
6) Montrer que S' est inclus dans S(penser à toutes les conditions que doivent vérifier les éléments de S).

III) On veut maintenant montrer l'inclusion inverse c'est à dire S est inclus dans S'. Soit (x,y,z) S. On introduit (x',y',z')=().

1) ??????? Montrer que ', y' et z' sont des entiers.
2) vérifier que y'²=x'z'.
3) Montrer que x'^z'=1.
4) ??????? En déduire, en utilisant la question III)2), que x' et z' sont en fait des carrés ( on pourra utiliser la décomposition en facteurs premiers de y')


j'espère que vous pourrez m'aider avec ces 3 questions sur lesquelles je bute. Merci d'avance pour votre aide

[sandalk]

il y a une faute de frappe en fait z'=

[pikaomar]

Bonjour Sandalk,

pour la question II,5), on aura d'aprés II,4) que u impair et v pair ou inversemment,
donc u²+v² et u²-v² seront impairs, et donc ne seront pas divisible par 2, et d'aprés II,3) on aura que (u²+v²)^(u²-v²)=1.

Pour la question III,1), On a d'aprés I,2) x impair, et y pair, et donc z sera impair;
ce qui nous donne que x+z, et x-z seront pairs (somme et difference de deux impair), et donc x' et z' seront des entiers, et y' aussi (car y pair).

Pour la derniére question, on a y'²=x'z', et x'^z'=1.
Soit p un diviseur premier de x', donc p premier avec z', et p divise y'², donc p² le divise;
d'où p² divise x'z', donc il divise x', ainsi, les carrés de tous les premiers divisant x' divisent x', donc x' est un carré lui même, et de même pour z'!

En espérant que ça t'aidera, et bonne chance;