Fonction Gamma d'Euler

[Sigmar]

Dans l'énoncé de l'exo, je ne vois pas encore le rapport avec la dite fonction gamma d'euler, mais on me demande la chose suivante.

...........................n
Soit Un=Somme(cos(kx))
..........................k=1
Montrez qu'il existe deux rationnels A et B tels que :
Un=A+B*sin[(2n+1)x/2]/sin(x/2)

C'est pas gagné :/ (encore un coup de mon prof qui prend les élèves de prépa pour des personnes en licence).

[jameso]

salut,
essaye peut-être en utilisant:
cos(k*x) =Re[exp(ikx)]

[Evil.Saien]

j'trouve que ca ressemble pas mal à la transformation en sinus de la fonction cos... Y'a peut-etre quelque chose a faire avec ca

[Sigmar]

J'ai trouvé ! (merci à tous)
Humpf c'était vraiment pas évident (bon les 4h dessus aidant) :
On considère la suite :
Vn = 1+cos(x)+...cos(nx)=Un +1
On a Vn=Re(1+exp(ix)+exp(i2x)+...+e xp(inx))
(Vn suite réelle)
On pose Wn=1+exp(ix)+exp(i2x)+...+exp( inx)
(Wn suite complexe)
Wn est une suite géométrique de raison exp(ix) de somme :

S(Wn)=1-(exp(ix))^(n+1)/(1-exp(ix))
en trifouillant grâce à une des formules d'Euler (encore lui !), qui est :
e(ix)-e(-ix)=2i*sin(x/2)
on obtient S(Wn)=exp(inx/2)*sin[(n+1)x/2]/sin(x/2)
avec Vn=Re(Wn), on obtient Vn=cos(nx/2)*sin[(n+1)*x/2]/sin(x/2)
et Un=Vn -1={cos(nx/2)*sin[(n+1)*x/2]-sin(x/2)}/sin(x/2)
soit en utilisant sin(a)*cos(b)=1/2(sin(a+b)-sin(a-b)) le résultat voulu !
Un=A+B*sin[(2n+1)x/2]/sin(x/2)
avec A=-1/2 et B=1/2 !

[martini_bird]

Salut,
si je peux me permettre, retiens ce genre d'astuce, c'est très courant dans les épreuves de concours.

[gnoki]

Pas besoin d'aller chercher si loin, je l'ai eu en DM, assez astucieux mais pas compliqué :
s'intéresser au produit de sin(x/2) x somme de 1 à de cos(kx) ce qui revient à étudier (en rentrant le sin(x/2) dans la somme) : sin(x/2)x(cos(kx))=[sin(x(k+1/2)/2)xsin(x(k-1/2)/2)]/2 (par une formule de trigo)
on a ensuite une somme télescopique
et on obtient le résultat

[breukin]

Donc effectivement il n'y a aucun rapport avec la fonction gamma d'Euler, mais simplement avec la formule d'Euler.
Mais peut-être l'exercice a-t-il une suite ?