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Nature et somme d'une série en arctan

  1. morgoth858

    Date d'inscription
    janvier 2008
    Messages
    7

    Unhappy Nature et somme d'une série en arctan

    Bonjour à tous

    j'ai l'exercice suivant que je n'arrive pas à résoudre :

    trouvez la nature et la somme de la série de terme général :
    Un=arctan (1/ n2+3n+3)

    J'ai essayé des tas de chose, les développement limités, les critères de Cauchy, d'Alembert, les équivalences avec les intégrales (primitive de arctan je vois pas trop ....) , mais rien à faire je ne vois même pas comment commencer pour trouver la nature de la serie.

    Il me restera ensuite à trouver la somme de la serie si elle converge (flou total la aussi)

    A moins qu'il existe une formule permettant de simplifier l'arctan ?

    Merci d'avance à tous ceux qui se pencheront sur mon problème


     


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  2. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    8 785

    Re : nature et somme d'une série en arctan

    Citation Envoyé par morgoth858 Voir le message
    Bonjour à tous

    j'ai l'exercice suivant que je n'arrive pas à résoudre :

    trouvez la nature et la somme de la série de terme général :
    Un=arctan (1/ n2+3n+3)

    J'ai essayé des tas de chose, les développement limités, les critères de Cauchy, d'Alembert, les équivalences avec les intégrales (primitive de arctan je vois pas trop ....) , mais rien à faire je ne vois même pas comment commencer pour trouver la nature de la serie.

    Il me restera ensuite à trouver la somme de la serie si elle converge (flou total la aussi)

    A moins qu'il existe une formule permettant de simplifier l'arctan ?

    Merci d'avance à tous ceux qui se pencheront sur mon problème
    C'est un exo à la noix.

    Pour la convergence, tu dois savoir que au voisinage de 0.
    Cela te donne et la convergence de la série.

    Pour calculer la somme de la série, il te faudra obtenir un télescopage, donc écrire pour avoir

    Il te faut donc avoir , soit .
    Tu es donc ramené à déterminer de telle sorte que :
    et , ce qui n'est plus très difficile
     

  3. morgoth858

    Date d'inscription
    janvier 2008
    Messages
    7

    Re : nature et somme d'une série en arctan

    Tout d'abord, merci à toi

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    C'est un exo à la noix.

    Pour la convergence, tu dois savoir que au voisinage de 0.
    Cela te donne et la convergence de la série.
    Pour la convergence, je comprend très bien la méthode utilisée( j'ai honte de pas y avoir pensé tout seul )

    Mais par contre je ne comprend pas ta méthode de "télescopage", il ne me semble pas avoir jamais utilisée une telle méthode, et je n'arrive pas trop à saisir son principe. Si tu pouvais m'en dire un peu plus

    Merci beaucoup en tout cas.
     

  4. Flyingsquirrel

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
    3 590

    Re : nature et somme d'une série en arctan

    Une erreur s'est glissée dans le post de God's Breath :

    lire
    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Il te faut donc avoir
    et pas
    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Il te faut donc avoir
     

  5. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    8 785

    Re : nature et somme d'une série en arctan

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Une erreur s'est glissée dans le post de God's Breath
    Merci Flyingsquirrel d'avoir rectifié.
     


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  6. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    8 785

    Re : nature et somme d'une série en arctan

    Citation Envoyé par morgoth858 Voir le message
    Mais par contre je ne comprend pas ta méthode de "télescopage", il ne me semble pas avoir jamais utilisée une telle méthode, et je n'arrive pas trop à saisir son principe. Si tu pouvais m'en dire un peu plus
    Le principe est d'écrire le terme général comme différence de la forme .

    On obtient alors la simplification, souvant dite "télescopage" ou "principe des dominos" :

    où tous les termes se simplifient sauf le premier et le dernier, et on obtient ainsi explicitement la somme partielle de la série sous la forme :
    , dont on n'a qu'à calculer la limite quand tend vers l'infini pour avoir la somme de la série.
     

  7. morgoth858

    Date d'inscription
    janvier 2008
    Messages
    7

    Re : nature et somme d'une série en arctan

    merci à vous pour ces éléments de réponse

    par contre je n'arrive pas à résoudre le système, est-il normal de tomber sur une équation du second degré de ce type :
    tan2(vn) + tan(vn) - (n2+3n+2) = 0

    si je la résout je tombe sur deux solutions c'est étonnant ( v n est bien unique, non ?)
     

  8. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    8 785

    Re : nature et somme d'une série en arctan

    Citation Envoyé par morgoth858 Voir le message
    est-il normal de tomber sur une équation du second degré de ce type :
    tan2(vn) + tan(vn) - (n2+3n+2) = 0
    Quand on tombe, on se fait mal, et c'est ton cas.

    Je t'ai dit que c'est un exo "à la noix" (et je reste poli...).

    On veut
    et , soit .
    Ce dernier polynôme se factorise en , et l'on remarque, magie des mathématiques, que , et que la solution est magnifiquement :
    et .
     

  9. morgoth858

    Date d'inscription
    janvier 2008
    Messages
    7

    Re : nature et somme d'une série en arctan

    merci beaucoup à toi

    pour info, je trouve la somme égale à

    je trouve juste étonnant qu'il n'y ai pas une autre méthode pour calculer cette somme (ta méthode est particulièrement efficace, c'est vrai, mais je ne l'avait jamais rencontrée)
     

  10. morgoth858

    Date d'inscription
    janvier 2008
    Messages
    7

    Re : nature et somme d'une série en arctan

    merci beaucoup à toi

    pour info, je trouve la somme égale à

    je trouve juste étonnant qu'il n'y ai pas une autre méthode pour calculer cette somme (ta méthode est particulièrement efficace, c'est vrai, mais je ne l'avait jamais rencontrée)
     

  11. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    8 785

    Re : nature et somme d'une série en arctan

    Citation Envoyé par morgoth858 Voir le message
    merci beaucoup à toi

    pour info, je trouve la somme égale à

    je trouve juste étonnant qu'il n'y ai pas une autre méthode pour calculer cette somme (ta méthode est particulièrement efficace, c'est vrai, mais je ne l'avait jamais rencontrée)
    est effectivement la somme de la série.

    La méthode est particulièrement efficace pour calculer des sommes de série, par exemple avec en décomposant la fraction en éléments simples, ce qui est une idée qui doit venir naturellement à l'esprit.

    Mais ton exercice est fabriqué à l'envers, on part de , et on calcule de correspondant, et il n'est pas du tout évident de reprendre le calcul en sens inverse.
     


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