Nature et somme d'une série en arctan

morgoth858 · 20/01/2008 - 18h24

Bonjour à tous

j'ai l'exercice suivant que je n'arrive pas à résoudre :

trouvez la nature et la somme de la série de terme général :

U_n=arctan (1/ n²+3n+3)

J'ai essayé des tas de chose, les développement limités, les critères de Cauchy, d'Alembert, les équivalences avec les intégrales (primitive de arctan je vois pas trop ....) , mais rien à faire je ne vois même pas comment commencer pour trouver la nature de la serie.

Il me restera ensuite à trouver la somme de la serie si elle converge (flou total la aussi)

A moins qu'il existe une formule permettant de simplifier l'arctan ?

Merci d'avance à tous ceux qui se pencheront sur mon problème

God's Breath · 20/01/2008 - 18h50

Envoyé par morgoth858

Bonjour à tous

j'ai l'exercice suivant que je n'arrive pas à résoudre :

trouvez la nature et la somme de la série de terme général :

U_n=arctan (1/ n²+3n+3)

J'ai essayé des tas de chose, les développement limités, les critères de Cauchy, d'Alembert, les équivalences avec les intégrales (primitive de arctan je vois pas trop ....) , mais rien à faire je ne vois même pas comment commencer pour trouver la nature de la serie.

Il me restera ensuite à trouver la somme de la serie si elle converge (flou total la aussi)

A moins qu'il existe une formule permettant de simplifier l'arctan ?

Merci d'avance à tous ceux qui se pencheront sur mon problème

C'est un exo à la noix.

Pour la convergence, tu dois savoir que $\arctan x \sim x$ au voisinage de 0.
Cela te donne $u_ n\sim \frac{1}{n^2+3n+3} \sim \frac{1}{n^2}$ et la convergence de la série.

Pour calculer la somme de la série, il te faudra obtenir un télescopage, donc écrire $u_n = \arctan\frac{1}{n^2+3n+3} = v_{n+1} - v_n$ pour avoir $\sum_{k=0}^n u_k = v_{n+1} - v_0$

Il te faut donc avoir $\tan u_n = \tan v_{n+1} - \tan v_n$ , soit $\frac{1}{n^2+3n+3} = \frac{\tan v_{n+1} - \tan v_n}{\tan v_{n+1} \tan v_n+1}$ .
Tu es donc ramené à déterminer $\tan v_n$ de telle sorte que :
$\tan v_{n+1} - \tan v_n = 1$ et $\tan v_{n+1} \tan v_n+1 = n^2+3n+3$ , ce qui n'est plus très difficile

morgoth858 · 20/01/2008 - 19h14

Tout d'abord, merci à toi

Envoyé par God's Breath

C'est un exo à la noix.

Pour la convergence, tu dois savoir que $\arctan x \sim x$ au voisinage de 0.
Cela te donne $u_ n\sim \frac{1}{n^2+3n+3} \sim \frac{1}{n^2}$ et la convergence de la série.

Pour la convergence, je comprend très bien la méthode utilisée( j'ai honte de pas y avoir pensé tout seul

)

Mais par contre je ne comprend pas ta méthode de "télescopage", il ne me semble pas avoir jamais utilisée une telle méthode, et je n'arrive pas trop à saisir son principe. Si tu pouvais m'en dire un peu plus

Merci beaucoup en tout cas.

Flyingsquirrel · 20/01/2008 - 19h23

Une erreur s'est glissée dans le post de God's Breath :

lire

Envoyé par God's Breath

Il te faut donc avoir $\tan u_n = \tan(v_{n+1} - v_n)$

et pas

Envoyé par God's Breath

Il te faut donc avoir $\tan u_n = \tan v_{n+1} - \tan v_n$

God's Breath · 20/01/2008 - 19h39

Envoyé par Flyingsquirrel

Une erreur s'est glissée dans le post de God's Breath

Merci Flyingsquirrel d'avoir rectifié.

God's Breath · 20/01/2008 - 19h46

Envoyé par morgoth858

Mais par contre je ne comprend pas ta méthode de "télescopage", il ne me semble pas avoir jamais utilisée une telle méthode, et je n'arrive pas trop à saisir son principe. Si tu pouvais m'en dire un peu plus

Le principe est d'écrire le terme général comme différence de la forme $u_n = v_{n+1} - v_n$ .

On obtient alors la simplification, souvant dite "télescopage" ou "principe des dominos" :
$u_n + u_{n-1} + u_{n-2} + ... + u_2 + u_1 + u_0 = (v_{n+1} - v_n) + (v_n - v_{n-1}) + (v_{n-1} - v_{n-2}) + ... + (v_3 - v_2) + (v_2 - v_1) +(v_1 - v_0)$
où tous les termes se simplifient sauf le premier et le dernier, et on obtient ainsi explicitement la somme partielle de la série sous la forme :
$\sum_{k=0}^n u_k = v_{n+1} -v_0$ , dont on n'a qu'à calculer la limite quand $n$ tend vers l'infini pour avoir la somme de la série.

morgoth858 · 20/01/2008 - 20h37

merci à vous pour ces éléments de réponse

par contre je n'arrive pas à résoudre le système, est-il normal de tomber sur une équation du second degré de ce type :
tan²(v_n) + tan(v_n) - (n²+3n+2) = 0

si je la résout je tombe sur deux solutions c'est étonnant ( v _n est bien unique, non ?)

God's Breath · 20/01/2008 - 20h56

Envoyé par morgoth858

est-il normal de tomber sur une équation du second degré de ce type :
tan²(v_n) + tan(v_n) - (n²+3n+2) = 0

Quand on tombe, on se fait mal, et c'est ton cas.

Je t'ai dit que c'est un exo "à la noix" (et je reste poli...).

On veut $\tan v_{n+1} - \tan v_n = 1$
et $\tan v_{n+1} \tan v_n + 1= n^3 + n + 3$ , soit $\tan v_{n+1} \tan v_n= n^3 + n + 2$ .
Ce dernier polynôme se factorise en $n^3 + n + 2 = (n+2)(n+1)$ , et l'on remarque, magie des mathématiques, que $(n+2) - (n+1) = 1$ , et que la solution est magnifiquement :
$\tan v_n = n + 1$ et $\tan v_{n+1} = n + 2$ .

morgoth858 · 20/01/2008 - 22h40

merci beaucoup à toi

pour info, je trouve la somme égale à $\pi \over 4$

je trouve juste étonnant qu'il n'y ai pas une autre méthode pour calculer cette somme (ta méthode est particulièrement efficace, c'est vrai, mais je ne l'avait jamais rencontrée)

morgoth858 · 20/01/2008 - 22h44

merci beaucoup à toi

pour info, je trouve la somme égale à $\sum Un ={\pi \over 4}$

je trouve juste étonnant qu'il n'y ai pas une autre méthode pour calculer cette somme (ta méthode est particulièrement efficace, c'est vrai, mais je ne l'avait jamais rencontrée)

God's Breath · 20/01/2008 - 22h50

Envoyé par morgoth858

merci beaucoup à toi

pour info, je trouve la somme égale à $\sum Un ={\pi \over 4}$

je trouve juste étonnant qu'il n'y ai pas une autre méthode pour calculer cette somme (ta méthode est particulièrement efficace, c'est vrai, mais je ne l'avait jamais rencontrée)

$\frac{\pi}{4}$ est effectivement la somme de la série.

La méthode est particulièrement efficace pour calculer des sommes de série, par exemple avec $u_n = \frac{n}{(n+1)(n+2)(n+4)}$ en décomposant la fraction en éléments simples, ce qui est une idée qui doit venir naturellement à l'esprit.

Mais ton exercice est fabriqué à l'envers, on part de $\tan v_n = n+1$ , et on calcule de $u_n$ correspondant, et il n'est pas du tout évident de reprendre le calcul en sens inverse.